Метод половинного деления (метод дихотомии)
Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.
Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [a, b], такое, что f(a)×f(b) — середине отрезка [a, b]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [a, c], если же нет – то на отрезке [c, b]. Схема метода дихотомии приведен на рисунке 2.
Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню
4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2
Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .
Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]
Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:
если f(a)×f(с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.
Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомиипри поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]
a) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;
Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:
Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.
Скорость сходимости этого метода является линейной.
При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.
Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.
2 Решение уравнений, используя “Подбор параметра”
Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:
1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;
2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;
3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.
2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”
Например, найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].
Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения
Выполните команду меню Сервис/Параметры,во вкладкеВычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.
Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:
þ Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;
þ Значение: в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);
þ Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.
Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня
После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685.
Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101.
3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”
Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения,доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.
Последовательность операций нахождения корней следующая:
2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):
þ в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);
þ установить переключатель в положение ‘значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);
þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;
þ в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);
þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.
þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.
Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.
Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):
þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).
þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).
þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.
þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.
þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.
Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения
3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”
Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения
На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .
Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”
| № варианта | Уравнение f(x)=0 | Диапазон поиска корней |
| A | B |
2. Как реализовать метод дихотомии средствами MS Excel?
3. Какие встроенные средства решения уравнений есть в Excel?
4. Как воспользоваться средством Подбор параметра для поиска решения уравнения?
5. Как воспользоваться средством Поиск решения для поиска решения уравнения?
Формула деления в Экселе: 6 простых вариантов
Число положительных корней уравнения (1) равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряду коэффициентов уравнения. Так как при замене «х» на «-у» корни уравнения (1) меняют знаки, то с помощью этой теоремы можно оценить и число отрицательных корней.
| № варианта | Уравнение f(x)=0 | Диапазон поиска корней |
| A | B |
