Вычисление интегралов в Excel
При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.
Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.
Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.
Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.
Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.
Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.
Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Практика вычисления интегралов в Excel.
Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.
Определение тепловой энергии.
Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.
Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.
1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi .
2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.
3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i , поступающего на вход коллекторов.
4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе
5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в каждый из моментов времени в столбце F
На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.
Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.
6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день
7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона
Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!
Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.
По методу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)
По методу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)
Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.
Общие выводы.
Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.
Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!
Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.
Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Курсовая работа: РН-метрия — Рефераты
Кроме того, при расчетах обычно пренебрегают разбавлением раствора в ходе титрования. При этих допущениях экспериментальные кривые не совпадают с теоретически рассчитанными. Однако возникающая при этом небольшая погрешность не имеет существенного значения при определении рН ктт.
