Биномиальное распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL

Биномиальное распределение — одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в n взаимно независимых наблюдениях . Часто событие А называют «успехом» наблюдения, а противоположное ему событие — «неуспехом», но это обозначение весьма условное.

• в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
• событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p ;
• испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

где p — вероятность наступления события А ;

q = 1 — p — вероятность наступления противоположного события .

Такую же вероятность будет иметь любой другой вариант, в котором m успехов и n — m неуспехов. Число таких вариантов равно — числу способов, которыми можно из n испытаний получить m успехов.

Сумма вероятностей всех m чисел наступления события А (чисел от 0 до n ) равна единице:

где каждое слагаемое представляет собой слагаемое бинома Ньютона. Поэтому рассматриваемое распределение и называется биномиальным распределением.

На практике часто необходимо вычислять вероятности «не более m успехов в n испытаниях» или «не менее m успехов в n испытаниях». Для этого используются следующие формулы.

Интегральную функцию, то есть вероятность F (m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз , можно вычислить по формуле:

В свою очередь вероятность F (≥m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не менее m раз , вычисляется по формуле:

Иногда бывает удобнее вычислять вероятность того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, через вероятность противоположного события:

Какой из формул пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше слагаемых.

Характеристики биномиального распределения вычисляются по следующим формулам .

Биномиальное распределение и расчёты в MS Excel

Вероятность биномиального распределения P n (m ) и значения интегральной функции F (m ) можно вычислить при помощи функции MS Excel БИНОМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

• число успехов;
• число испытаний;
• вероятность успеха;
• интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить вероятность P n (m ) и 1 — если вероятность F (m ).

Пример 1. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А — день будет отработан с прибылью, — без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП (значение интегральной величины — 0):

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

Используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП, вычислим вероятность того, что из 6 дней не более 3 дней будут завершены с прибылью (значение интегральной величины — 1):

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

Тот же показатель вычислим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП:

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Из урны вынимают шар, устанавливают цвет и кладут обратно. Попытку повторяют 5 раз. Число появления белых шаров — дискретная случайная величина X , распределённая по биномиальному закону. Составить закон распределения случайной величины. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию.

Продолжаем решать задачи вместе

Рассмотрим Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения p, математического ожидания распределения и стандартного отклонения. Также рассмотрим распределение Бернулли.

Определение . Пусть проводятся n испытаний, в каждом из которых может произойти только 2 события: событие «успех» с вероятностью p или событие «неудача» с вероятностью q =1-p (так называемая Схема Бернулли, Bernoulli trials ).

Вероятность получения ровно x успехов в этих n испытаниях равна:

Количество успехов в выборке x является случайной величиной, которая имеет Биномиальное распределение (англ. Binomial distribution ) p и n – являются параметрами этого распределения.

Напомним, что для применения схемы Бернулли и соответственно Биномиального распределения, должны быть выполнены следующие условия:

• каждое испытание должно иметь ровно два исхода, условно называемых «успехом» и «неудачей».
• результат каждого испытания не должен зависеть от результатов предыдущих испытаний (независимость испытаний).
• вероятность успеха p должна быть постоянной для всех испытаний.

Биномиальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Биномиального распределения имеется функция БИНОМ.РАСП() , английское название — BINOM.DIST(), которая позволяет вычислить вероятность того, что в выборке будет ровно х «успехов» (т.е. функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), и интегральную функцию распределения (вероятность того, что в выборке будет x или меньше «успехов», включая 0).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция БИНОМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). БИНОМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и .

Биномиальное распределения имеет обозначение B (n ; p ) .

Примечание : Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График , для плотности распределения – Гистограмма с группировкой . Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров Биномиального распределения : n и p.

В файле примера приведены различные расчеты вероятности с помощью функций MS EXCEL:

• В бесконечной совокупности, из которой делается выборка, содержится 10% (или 0,1) годных элементов (параметр p , третий аргумент функции =БИНОМ.РАСП() )
• Чтобы вычислить вероятность, того что в выборке из 10 элементов (параметр n , второй аргумент функции) будет ровно 5 годных элементов (первый аргумент), нужно записать формулу: =БИНОМ.РАСП(5; 10; 0,1; ЛОЖЬ)
• Последний, четвертый элемент, установлен =ЛОЖЬ, т.е. возвращается значение функции плотности распределения .

Если значение четвертого аргумента =ИСТИНА, то функция БИНОМ.РАСП() возвращает значение интегральной функции распределения или просто Функцию распределения . В этом случае можно рассчитать вероятность того, что в выборке количество годных элементов будет из определенного диапазона, например, 2 или меньше (включая 0).

Для этого нужно записать формулу:
= БИНОМ.РАСП(2; 10; 0,1; ИСТИНА)

Примечание : При нецелом значении х, . Например, следующие формулы вернут одно и тоже значение:
=БИНОМ.РАСП(2 ; 10; 0,1; ИСТИНА)
=БИНОМ.РАСП(2,9 ; 10; 0,1; ИСТИНА)

Примечание : В файле примера плотность вероятности и функция распределения также вычислены с использованием определения и функции ЧИСЛКОМБ() .

Показатели распределения

В файле примера на листе Пример имеются формулы для расчета некоторых показателей распределения:

Выведем формулу математического ожидания Биномиального распределения , используя Схему Бернулли .

Это распределение называется распределение Бернулли .

Примечание : распределение Бернулли – частный случай Биномиального распределения с параметром n=1.

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными вероятностями успеха: 0,1; 0,5 и 0,9. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры для каждой вероятности p:

В итоге будем иметь 3 столбца по 100 чисел, на основании которых можно, например, оценить вероятность успеха p по формуле: Число успехов/100 (см. файл примера лист ГенерацияБернулли ).

Примечание : Для распределения Бернулли с p=0,5 можно использовать формулу =СЛУЧМЕЖДУ(0;1) , которая соответствует .

Генерация случайных чисел. Биномиальное распределение

Таким образом, превышение порогового количества дефектных изделий в выборке, может служить сигналом, что процесс расстроился и стал выпускать бо льший процент бракованных изделий.

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция КРИТБИНОМ() , которая эквивалентна БИНОМ.ОБР() . КРИТБИНОМ() оставлена в MS EXCEL 2010 и выше для совместимости.

Связь Биномиального распределения с другими распределениями

Если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p стремится к 0, то в этом случае Биномиальное распределение может быть аппроксимировано .
Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

• p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n—x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

При 0,1 10 Биномиальное распределение можно аппроксимировать .

В свою очередь, Биномиальное распределение может служить хорошим приближением , когда размер совокупности N Гипергеометрического распределения гораздо больше размера выборки n (т.е., N>>n или n/N Q кр. При этом значения Q кр находятся в специальных таблицах (см. Приложение, табл. VIII).

Вернемся к нашей задаче. Введем обозначения: х – выборка девушек, y – выборка юношей. Для каждой выборки строим ранжированный ряд:

х : 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46

Подсчитываем число значений в неперекрывающихся областях ранжированных рядов. В ряду х неперекрывающимися являются значения 45 и 46, т. е. N 1 = 2;в ряду y только 1 неперекрывающееся значение 26, т. е. N 2 = 1. Отсюда, Q = N 1 + N 2 = 1 + 2 = 3.

В табл. VIII Приложения находим, что Q кр . = 7 (для уровня значимости 0,95) и Q кр = 9 (для уровня значимости 0,99).

Различия между двумя выборками по критерию Манна – Уитни не являются статистически достоверными.

1. Критерий Манна-Уитни не имеет практически никаких ограничений; минимальные объемы сравниваемых выборок – 2 и 5 человек (см. табл. IX Приложения).

2. Аналогично критерию Розенбаума критерий Манна-Уитни может быть использован применительно к любым выборкам независимо от характера распределения.

В отличие от критериев Розенбаума и Манна-Уитни критерий t Стьюдента является параметрическим, т. е. основан на определении основных статистических показателей – средних значений в каждой выборке ( и ) и их дисперсий (s 2 x и s 2 y), рассчитываемых по стандартным формулам (см. раздел 5).

Использование критерия Стьюдента предполагает соблюдение следующих условий:

1. Распределения значений для обеих выборок должны соответствовать закону нормального распределения (см. раздел 6).

2. Суммарный объем выборок должен быть не менее 30 (для β 1 = 0,95) и не менее 100 (для β 2 = 0,99).

3. Объемы двух выборок не должны существенно отличаться друг от друга (не более чем в 1,5 ÷ 2 раза).

Идея критерия Стьюдента достаточно проста. Предположим, что значения переменных в каждой из выборок распределяются по нормальному закону, т. е. мы имеем дело с двумя нормальными распределениями, отличающимися друг от друга по средним значениям и дисперсии (соответственно и , и , см. рис. 7.1).

Рис. 7.1. Оценка различий между двумя независимыми выборками: и — средние значения выборок x и y ; s x и s y — стандартные отклонения

Нетрудно понять, что различия между двумя выборками будут тем больше, чем больше разность между средними значениями и чем меньше их дисперсии (или стандартные отклонения).

В случае независимых выборок коэффициент Стьюдента определяют по формуле:

где n x и n y – соответственно численность выборок x и y .

В рассмотренной нами ранее задаче вычисление средних значений и дисперсий дает следующие значения: x ср. = 38,5; σ х 2 = 28,40; у ср. = 36,2; σ у 2 = 31,72.

Можно видеть, что среднее значение тревожности в группе девушек выше, чем в группе юношей. Тем не менее эти различия настолько незначительны, что вряд ли они являются статистически значимыми. Разброс значений у юношей, напротив, несколько выше, чем у девушек, но различия между дисперсиями также невелики.

t эксп. = 1,14 j* ст для данного уровня значимости.

Нас интересует, различаются ли между собой две группы студентов по успешности выполнения достаточно сложной задачи. В первой группе из 20 человек с ней справилось 12 студентов, во второй – 10 человек из 25.

2. Вычисляем процентные доли Р 1 и Р 2: Р 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), Р 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).

3. В табл. XII Приложений находим соответствующие процентным долям значения φ: j 1 = 1,772, j 2 = 1,369.

Различия между группами не являются статистически достоверными, поскольку j* 10.

Для вычислений с помощью нижеследующих кодов потребуются файлы betaDF.h , betaDF.cpp (см. раздел о бета-распределении), а также logGamma.h , logGamma.cpp (см. приложение А). Вы можете посмотреть также пример использования функций.

[expert_bq id=»1570″]Большинство статистиков согласны с тем, что минимальный размер выборки для получения любого значимого результата составляет 100. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Все, что вам нужно сделать, это взять количество респондентов, которое вам нужно, разделите на ожидаемое количество ответов и умножьте на 100. Например, если вам нужно 500 клиентов, которые ответят на ваш опрос, и вы знаете, что процент ответов составляет 30%, вам следует пригласить в свое исследование около 1,666 человек (500/30 * 100 = 1,666).

Как найти доверительный интервал в Excel

• число успехов;
• число испытаний;
• вероятность успеха;
• интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить вероятность P n (m ) и 1 — если вероятность F (m ).

В отличие от критериев Розенбаума и Манна-Уитни критерий t Стьюдента является параметрическим, т. е. основан на определении основных статистических показателей – средних значений в каждой выборке ( и ) и их дисперсий (s 2 x и s 2 y), рассчитываемых по стандартным формулам (см. раздел 5).

Какова формула размера выборки в Excel?

Размер выборки — это количество наблюдений в наборе данных, например, если опросная компания опрашивает 500 человек, то размер выборки данных составляет 500. После ввода набора данных в Excel, формула = COUNT рассчитает размер выборки.

1. Укажите проверку гипотезы. …
2. Укажите уровень значимости теста. …
3. Укажите наименьший размер эффекта, представляющий научный интерес. …
4. Оцените значения других параметров, необходимых для вычисления степенной функции. …
5. Укажите предполагаемую мощность теста. …
6. Теперь посчитайте.

Во-вторых, что такое калькулятор размера выборки? Этот калькулятор размера выборки представляет собой общедоступную услугу программного обеспечения для проведения опросов Creative Research Systems. Вы можете использовать это чтобы определить, сколько людей вам нужно взять на собеседование, чтобы для получения результатов, максимально точно отражающих целевую аудиторию.

Формула Словина, п = N / (1 + Ne2), используется для расчета размера выборки (n), тогда как размер генеральной совокупности (N) и предел погрешности (e).

Что такое хорошая мощность для учебы?

Как правило, сила . 80 (80 процентов) или выше считается хорошим для учебы. Это означает, что существует 80-процентная вероятность обнаружить разницу как статистически значимую, если на самом деле разница существует.

Как рассчитать среднее значение?

Среднее или среднее значение рассчитывается путем сложения баллов и деления общей суммы на количество баллов.. Рассмотрим следующий набор чисел: 3, 4, 6, 6, 8, 9, 11.

Что такое C в статистике?

Статистика C интерпретируется как вероятность что случайным образом выбранный субъект, который испытал результат, будет иметь более высокую прогнозируемую вероятность достижения результата, чем случайно выбранный субъект, который не испытал результат.

Какова формула среднего значения численности населения?

Формула для определения среднего значения совокупности: μ = (Σ * X) / N. где: Σ означает «сумма». X = все отдельные элементы в группе.

30 — хороший размер выборки?

Ответ на это таков: для валидности требуется соответствующий размер выборки. Если размер выборки слишком мал, он не даст достоверных результатов. Соответствующий размер выборки может обеспечить точность результатов. … Если мы используем три независимые переменные, то четким правилом будет минимальный размер выборки 30.

Каков минимальный размер выборки?

Большинство статистиков согласны с тем, что минимальный размер выборки для получения любого значимого результата составляет 100. Если ваша популяция меньше 100, вам действительно нужно обследовать их всех.

Как вы рассчитываете размер выборки?

1. Определите размер популяции (если она известна).
2. Определите доверительный интервал.
3. Определите уровень достоверности.
4. Определите стандартное отклонение (стандартное отклонение 0.5 является безопасным выбором, если значение неизвестно)
5. Преобразуйте уровень достоверности в Z-Score.

Какая формула Кокрана?

Формула Кохрана позволяет вам для расчета идеального размера выборки при желаемом уровне точности, желаемом уровне достоверности, и предполагаемая доля атрибута, присутствующего в совокупности. … P — (оценочная) доля населения, имеющего рассматриваемый атрибут, q равно 1 — p.

Кто сформулировал формулу Словина?

Формула (иногда называемая формулой Словена) была сформулирована Словин в 1960. Допуск на ошибку, e, может быть указан вам (например, в вопросе). Если вы исследователь, возможно, вы захотите определить свою собственную устойчивость к ошибкам; Просто вычтите уровень своей уверенности из 1.

Как рассчитываются респонденты?

Все, что вам нужно сделать, это взять количество респондентов, которое вам нужно, разделите на ожидаемое количество ответов и умножьте на 100. Например, если вам нужно 500 клиентов, которые ответят на ваш опрос, и вы знаете, что процент ответов составляет 30%, вам следует пригласить в свое исследование около 1,666 человек (500/30 * 100 = 1,666).

Как размер выборки влияет на мощность?

По мере увеличения размера выборки значение z увеличивается следовательно, мы с большей вероятностью отвергнем нулевую гипотезу; менее вероятно, что не удастся отвергнуть нулевую гипотезу, поэтому мощность теста возрастает. Имея в виду эту идею, мы можем построить график увеличения мощности по мере увеличения размера выборки.

Что означает степень 80%?

Например, мощность 80% в клиническом исследовании означает, что у исследования есть 80% -ная вероятность того, что в статистическом тесте значение p окажется меньше 5%. (т.е. статистически значимый эффект лечения), если действительно было важное различие (например, 10% против 5% смертности) между видами лечения. …

Что такое ошибка типа 1 или 2?

В статистике Ошибка типа I означает отказ от нулевой гипотезы. когда это на самом деле правда, а ошибка типа II означает неспособность отклонить нулевую гипотезу, когда она на самом деле ложна.

Какова формула выборочного среднего?

Вычислить выборочное среднее так же просто, как сложить количество элементов в выборочном наборе и затем разделить эту сумму на количество элементов в выборочном наборе. Чтобы вычислить выборочное среднее значение с помощью программного обеспечения для работы с электронными таблицами и калькуляторов, вы можете использовать формулу: x̄ = (Σ xi) / n.

Какая формула для среднего?

Среднее арифметическое, рассчитываемое по формуле добавление группы чисел и последующее деление на количество этих чисел. Например, среднее значение 2, 3, 3, 5, 7 и 10 равно 30, разделенному на 6, что равно 5.

Какова формула для режима сгруппированных данных?

Режим для сгруппированных данных представлен как Mode=l+(f1−f02f1−f0−f2)×h , где l — нижняя граница модального класса, h — размер интервала классов, f1 — частота модального класса, f0 — частота класса, предшествующего модальному классу, а f2 — частота класса, следующего за модальным классом. модальный класс.

Что такое формула C?

Формула Цельсия помогает преобразовать температуру в градусах в три единицы — Цельсий, Фаренгейт и Кельвин. … Эта шкала разделен на 100 равных частей называется градусом Цельсия и обозначается как ° C. Температура замерзания и кипения воды составляет 0 ° C и 100 ° C соответственно.

Что такое C в средней формуле?

C = общий коэффициент, с помощью которого отклонения преобразуются в ступенчатые отклонения.. Примечание: в этом методе используется ступенчатое отклонение, обозначаемое d ‘, а не d. d ‘= (XA) / C. Здесь X = значение элемента, A = предполагаемое значение среднего и.

Как рассчитывается C Stat?

C-статистика равно AUC (площадь под кривой), а также могут быть рассчитаны путем взятия всех возможных пар людей, состоящих из одного человека, который испытал положительный результат, и одного человека, который испытал отрицательный результат.

[expert_bq id=»1570″]Примечание Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График , для плотности распределения Гистограмма с группировкой. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Размер выборки — это количество наблюдений в наборе данных, например, если опросная компания опрашивает 500 человек, то размер выборки данных составляет 500. После ввода набора данных в Excel, формула = COUNT рассчитает размер выборки.

Методическая разработка на тему Статистические функции Excel — информатика, прочее

1. Укажите проверку гипотезы. …
2. Укажите уровень значимости теста. …
3. Укажите наименьший размер эффекта, представляющий научный интерес. …
4. Оцените значения других параметров, необходимых для вычисления степенной функции. …
5. Укажите предполагаемую мощность теста. …
6. Теперь посчитайте.

Теперь давайте познакомимся со вторым оператором для определения доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ. Данная функция была внедрена в программу относительно недавно, начиная с версии Эксель 2010, и направлена на определение ДИ выбранной совокупности данных с применением распределения Стьюдента, при неизвестной дисперсии.