Как найти площадь трапеции
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого, называемые основаниями, параллельны друг другу, а две другие стороны — нет.
Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.
Площадь трапеции, как и любой другой геометрической фигуры — это часть плоскости, ограниченная периметром и измеряемая в квадратных единицах.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.
Способы нахождения площади
Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.
Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.
Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:
Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:
Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.
Формулы для вычисления площади равнобедренной и неправильной трапеций
По длине оснований и высоте
Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту:
Через длины всех сторон (Формула Герона)
Чтобы посчитать площадь через длины сторон, можно воспользоваться следующей формулой:
Существует более простая формула, известная, как формула Герона. Для облегчения ее запоминания вводится р, полусумма всех четырех сторон:
Через диагонали и угол между ними
Здесь \(d_\) и \(d_\) — диагонали, а \(\alpha\) — угол, образованный ими.
Через радиус вписанной окружности
Вписать окружность в трапецию можно только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Площадь любой трапеции можно найти через радиус вписанной окружности, зная длину оснований:
Площадь равнобокой трапеции также можно найти через круг, вписанный в нее. Для этого нужно знать радиус этого круга, а также угол \(\alpha\) при основании.
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Такой способ нахождения площади подходит только для равнобоких трапеций. В этой формуле средняя линия обозначается буквой m, боковая сторона — буквой с, а угол при основании — \(\alpha\) . Зная длину средней линии и боковой стороны, достаточно найти синус угла и умножить эти значения друг на друга:
Примеры решения задач
Найти площадь трапеции, размер одной диагонали которой равен 6 см, второй — 9 см, а угол между ними — \(30^\circ.\)
Получим: \(S = \frac\times 6 \times 9 \times \sin30^\circ = 13,5. \)
Параллельные стороны плоской геометрической фигуры равны 9 и 5 см. Расстояние между ними — 7 см. Найти площадь фигуры.
Найти площадь трапеции, если известны длины непараллельных сторон — 13 и 15 см, а также разность длин оснований — 14 см. В трапецию вписана окружность.
Одно из основных свойств трапеции — в нее можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, если представить две проведенные высоты, как на рисунке, АК + МD = АD — BC = 14.
Поскольку углы К и М являются прямыми, воспользуемся теоремой Пифагора:
\(AB^ = AK^ + BK^.\)
\(BK^ = AB^ — AK^.\)
\(CD^ = CM^ + MD^.\)
\(CM^ = CD^ — MD^.\)
\(BK = CM.\)
\(AB^ — AK^ = CD^ — MD^.\)
Подставим числовые значения:
\(13^ — (14 — MD)^ = 15^ — MD^.\)
MD = 9 см.
\(CM^ = CD^ — MD^.\)
Работа 8. Знакомимся с электронными таблицами
Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫ a b f ( x ) d x в виде суммы интегралов вида ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h .
[expert_bq id=»1570″]Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница 0 2 x e x d x e x x — 1 0 2 e 2 1 8 , 3890561. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq]
i = 0 : x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 1 ) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 — 1 60 = 0 , 4 i = 1 : x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f ( x 1 ) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 — 1 60 ≈ 0 , 5266 . . . i = 6 : x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f ( x 6 ) = f ( 2 ) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 — 1 60 ≈ 1 , 9833
Оценка абсолютной погрешности метода трапеций
Обратите внимание! Таким образом, чтобы на счету клиенту через 4 года накопилось 2000000 рублей по ставке 11%, ему нужно каждый месяц вносить по 28188 рублей. Минус в сумме свидетельствует о том, что клиент несет убытки, отдавая деньги в банк.