Решить Систему Уравнений Методом Крамера в Эксель • Метод якоби

Содержание

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -234 \)

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $ -\frac $

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $ 5\frac $
Помните, что на ноль делить нельзя!

Ввод дробного числа в виде периодической десятичной дроби.
В периодических десятичных дробях период заключается в скобки.
Ввод: 0,(72)
Результат: $ \frac $

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа \(a_ \in \mathbb \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).

Формулы Крамера

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными.

Теорема. Если столбцы \( X^, X^, \ldots , X^ \) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения \( X^, \ldots , X^ \) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^, \ldots , X^ \) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).

Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

эксперт
Мнение эксперта
Михаил Соловьев, консультант по вопросам работы с продуктами Microsoft
Если у вас возникнут сложности, я помогу разобраться!
Задать вопрос эксперту
Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной неизвестного свободными членами. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне!
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Метод Крамера — вывод формул

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,

a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q

a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n

x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0

A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13

Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11

∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0

∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22

∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Калькулятор онлайн - Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): метод Гаусса, матричный метод, методом Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
эксперт
Мнение эксперта
Михаил Соловьев, консультант по вопросам работы с продуктами Microsoft
Если у вас возникнут сложности, я помогу разобраться!
Задать вопрос эксперту
Любой набор из k n-r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ AX 0 , где n количество неизвестных в системе, а r ранг её матрицы A , называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне!
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Метод Крамера с примерами решения

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Нажмите, чтобы узнать подробности

Работа была представлена на школьной научно-практической конференции «Лабиринты науки».

Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

Просмотр содержимого документа
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Решение систем линейных уравнений методом Крамера Выполнил: ученик 7 «Г» класса лицея № 86 г. Ярославля Кукушкин Евгений Учитель: Кукушкина А. В.

Цель проекта: Выяснить практическую значимость метода Крамера при решении систем линейных уравнений

  • Познакомиться с методом Крамера для решения систем линейных уравнений
  • Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера
  • Определить , может ли облегчить этот метод решение систем линейных уравнений
  • Исследовать систему линейных уравнений на количество решений , используя метод Крамера
  • Рассмотреть задачи на практическое применение метода Крамера

Самая известная из работ Крамера — трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» , опубликованная в 1750 году.

Для доказательства одной из теорем он строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера .

Метод Крамера Крамер рассматривал систему из линейных уравнений c неизвестными коэффициенты при переменной коэффициенты при переменной коэффициенты при переменной свободные члены

Крамер рассматривал систему из линейных уравнений c

Метод Крамера Рассмотрим систему из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными коэффициенты при переменной коэффициенты при переменной свободные члены

Рассмотрим систему из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

Метод Крамера При решении системы из линейных уравнений c неизвестными , Крамер использовал понятие матрицы размером

При решении системы из линейных уравнений c

неизвестными , Крамер использовал понятие

Метод Крамера Что такое матрица? Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел , состоящая из строк и столбцов

Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел

Метод Крамера Что такое квадратная матрица? Квадратная матрица – матрица размером , состоящая из строк и столбцов

Квадратная матрица – матрица размером

Метод Крамера Составим квадратную матрицу из коэффициентов при неизвестных

Составим квадратную матрицу из коэффициентов при неизвестных

Метод Крамера Что делать дальше? Крамер: « Найдите определитель полученной матрицы» Ученик: «Что такое определитель? » Крамер: « Определитель – число . Для матрицы размером оно находится по правилу: »

« Определитель – число . Для матрицы размером оно

Метод Крамера Ученик: «Что-то я не очень понял…» Крамер: «Тогда смотри!» Крамер: «Умножаем элементы главной диагонали » «Вычитаем произведение элементов побочной диагонали »

«Вычитаем произведение элементов побочной диагонали »

Метод Крамера Крамер: «Потренируйтесь: Найдите определитель матрицы » Ученик: «» Крамер: «Молодцы! Можем продолжить обучение!»

«Потренируйтесь: Найдите определитель матрицы »

Метод Крамера Крамер: «Если определитель матрицы , то система имеет единственное решение » Ученик: «Как же его найти?» Крамер: «, где - определитель, полученный из определителя заменой 1-го столбца на столбец свободных членов

Метод Крамера Ученик: «Я кажется понял!» «, где - определитель, полученный из определителя заменой 2-го столбца на столбец свободных членов» Крамер: «Молодец!»

Метод Крамера Крамер: «Решите систему уравнений: » Ученик: «Составляем матрицу и находим ее определитель»

Метод Крамера Крамер: «Решите систему уравнений: » Ученик: «Составляем матрицу и находим ее определитель» система имеет единственное решение

Метод Крамера Крамер: «Решите систему уравнений: » Ученик: «Составляем матрицу и находим ее определитель»

Метод Крамера Крамер: «Решите систему уравнений: » Ученик: «Составляем матрицу и находим ее определитель»

Метод Крамера Крамер: «Решите систему уравнений: » Ученик: «Ответ: » Крамер: «Замечательно!»

Замеряем время решения Для проведения опыта были выбраны три системы приведенные к виду: Все системы я решал тремя способами : методом подстановки методом алгебраического сложения методом Крамера Время решения каждого способа фиксировал

Для проведения опыта были выбраны три системы приведенные к виду:

Время решения каждого способа фиксировал

Замеряем время решения

Исследование системы линейных уравнений на количество решений

Исследование системы линейных уравнений на количество решений

Количество решений системы Система из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными , может иметь единственное решение иметь бесконечное множество решений не иметь решений

Система из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными , может

Количество решений системы Решим систему уравнений методом алгебраического сложения: любое, любое Система имеет бесконечное множество решений

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:

Количество решений системы Решим систему уравнений методом Крамера: 1) Находим определитель матрицы при неизвестных

Количество решений системы Решим систему уравнений методом Крамера: 2) Находим определитель матрицы

Количество решений системы Решим систему уравнений методом Крамера: 3) Находим определитель матрицы

Количество решений системы Решения системы уравнений: Метод Метод Сложение Сложение Крамер Кол-во решений Кол-во решений Крамер Гипотеза!

Количество решений системы Решим систему уравнений методом алгебраического сложения: , Система не имеет решений

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:

Количество решений системы Решим систему уравнений методом Крамера: 1) Находим определитель матрицы при неизвестных

Количество решений системы Решим систему уравнений методом Крамера: 2) Находим определитель матрицы

Количество решений системы Решим систему уравнений методом Крамера: 3) Находим определитель матрицы

Количество решений системы Решения системы уравнений: Метод Метод Сложение Сложение Крамер Кол-во решений Кол-во решений Крамер Гипотеза!

Количество решений системы Решения системы уравнений: Значения определителей Значения определителей Количество решений Количество решений Единственное решение Единственное решение Бесконечно много решений Бесконечно много решений Решений нет Решений нет

Применение метода Крамера к решению систем линейных уравнений с параметром

Применение метода Крамера к решению систем линейных уравнений с параметром

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: а) имеет единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечно много решений

Найдите все значения параметра при которых система:

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: а) имеет единственное решение Система имеет единственное решение, если

Найдите все значения параметра при которых система:

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: б) система не имеет решений Система не имеет решений, если

Найдите все значения параметра при которых система:

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: б) система не имеет решений

Найдите все значения параметра при которых система:

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: б) система не имеет решений

Найдите все значения параметра при которых система:

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: в) имеет бесконечно много решений Система имеет бесконечно много решений, если

Найдите все значения параметра при которых система:

Системы с параметром Найдите все значения параметра при которых система: в) имеет бесконечно много решений

Найдите все значения параметра при которых система:

Выводы: В результате работы я научился решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера выяснил , что решение систем методом Крамера значительно упрощает решение и сокращает время решения системы исследовал систему двух линейных уравнений на количество решений рассмотрел решение систем линейных уравнений с параметром , используя метод Крамера

Источники информации http://www.peoples.ru/science/mathematics/gabriel_cramer /

эксперт
Мнение эксперта
Михаил Соловьев, консультант по вопросам работы с продуктами Microsoft
Если у вас возникнут сложности, я помогу разобраться!
Задать вопрос эксперту
Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне!
Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.
Метод Крамера

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

  • Познакомиться с методом Крамера для решения систем линейных уравнений
  • Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера
  • Определить , может ли облегчить этот метод решение систем линейных уравнений
  • Исследовать систему линейных уравнений на количество решений , используя метод Крамера
  • Рассмотреть задачи на практическое применение метода Крамера

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Решить Систему Уравнений Методом Крамера в Эксель • Метод якоби

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

Решить Систему Уравнений Методом Крамера в Эксель • Метод якоби

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Решить Систему Уравнений Методом Крамера в Эксель • Метод якоби

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Решить систему линейных уравнений:

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

эксперт
Мнение эксперта
Михаил Соловьев, консультант по вопросам работы с продуктами Microsoft
Если у вас возникнут сложности, я помогу разобраться!
Задать вопрос эксперту
Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны в учебнике Основы вычислительной математики. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне!
Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

Действительно, если какое-либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector