Геометрическое распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL

Распределение называется геом., т.к. вер-ти р 1 , р 2 , … образуют геом.прогрессию, у которой первый член – р , а знаменатель – q .

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величина может принимать значения 1, 2, . ∞, то мат.ожидание и дисперсию геометр. распределения можно найти по формулам Mх = 1/p, Dх = q/p 2

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. С.в. X — число возможных выстрелов до первого попадания.

А) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики. б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трёх выстрелов.

а) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4. ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 · 0,6 = 0,096 .
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 · 0,6 .
Ряд распределения:

Контроль: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (сумма геометрической прогрессии)

Ф-ция распределения — это вероятность того, что с.в. Х примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение х. Значения функции распределения находим суммированием вероятностей.

Если 1 3, то F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 · 0,6 + 2 · 0,24 + 3 · 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 · 0,6 + 2 2 · 0,24 + 3 2 · 0,16 — 1,56 2 = 0,5664
σ(Х) ≈ 0,752

Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
As(X) = (x 1 -M X ) 3 p 1 + (x 2 — M X ) 3 p 2 + . + (x n — M X ) 3 p n

Коэфф. асимметрии непрерывной сл.вел. вычисляется по формуле:

Эксцесс – это мера крутости кривой распределения. Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Ex(X) = [(x 1 — M X) 4 p 1 + (x 2 — M X) 4 p 2 + . + (x n — M X) 4 p n ] / σ 4 — 3

Коэффициент эксцесса непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Пример .

Закон распределения дискретной случайной величины X – это перечень всех возможных значений сл.вел. X , которые она может принимать, и соответствующих вероятностей. Сумма всех вер-ей должна равняться 1. Проверка: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

2) Непрерывные случайные величины. Нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина принимает не какие-либо конкретные числовые значения, а любые значения на числовом отрезке. Описание закона распределения в непрерывном случае существенно сложнее, чем в дискретном.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого заданного интервала, например, время ожидания транспорта, температура воздуха в каком-либо месяце, отклонение фактического размера детали от номинального, и т.д. Интервал, на котором она задана, может быть бесконечным в одну или обе стороны.

Пусть — случайная величина и х — произвольное действительное число. Вероятность того, что примет значение, меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины : F(x) = Р( 4) = 1
Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:
P(a ≤ X файл примера лист Пример , где приведено 2 способа расчета.

Ниже используется подход, принятый в функции MS EXCEL: через количество неудач.

Чтобы вычислить функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше, необходимо установить четвертый аргумент в функции ОТРБИНОМ.РАСП() равным ЛОЖЬ. Для вычисления , необходимо установить четвертый аргумент равным ИСТИНА.

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ОТРБИНОМРАСП() , которая позволяет вычислить только плотность вероятности . В файле примера приведена формула на основе функции ОТРБИНОМРАСП() для вычисления интегральной функции распределения . Там же приведена формула для вычисления вероятности через определение.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Примечание : Для удобства написания формул для параметра p в файле примера создано .

Примечание : В функции ОТРБИНОМ.РАСП() при нецелом значении х , . Например, следующие формулы вернут одно и тоже значение:
ОТРБИНОМ.РАСП(2 ; 1; 0,4; ИСТИНА)=
ОТРБИНОМ.РАСП(2,9 ; 1; 0,4; ИСТИНА)

Задачи

Решения задач приведены в файле примера на листе Пример .

Задача1 . Нефтяная компания бурит скважины для добычи нефти. Вероятность обнаружить нефть в скважине равна 20%.
Какова вероятность, что первая нефть будет получена именно в третью попытку?
Какова вероятность, что для обнаружения первой нефти потребуется три попытки?
Решение1 :
=ОТРБИНОМ.РАСП(3-1; 1; 0,2; ЛОЖЬ)
=ОТРБИНОМ.РАСП(3-1; 1; 0,2; ИСТИНА)

Задача2 . Рейтинговое агентство делает опрос случайных прохожих в городе о любимой марке автомобиля. Пусть известно, что у 1% горожан любимым автомобилем является Lada Granta . Какова вероятность, что встретить первого почитателя этой марки автомобиля после опроса 10 человек?
Решение2 : =ОТРБИНОМ.РАСП(10-1; 1; 0,01; ИСТИНА )=9,56%

[expert_bq id=»1570″]Несмотря на то, как ужасно выглядит функция плотности распределения, сама случайная величина генерируется крайне просто и быстро. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Как и в случае предыдущих распределений — любая величина с гамма-распределением генерируется из стандартной умножением на параметр theta. Умея генерировать равномерное, нормальное, экспоненциальное и гамма-распределения, вы, скорее всего, с легкостью сможете получить большинство других распределений, благо они легко выражаются через вышеупомянутые.

Равномерное и экспоненциальное распределения

Интересно посмотреть, как будут выглядеть на диаграмме данные, полученные из выборок из других распределений (не из нормального ). В файле примера на листе Равномерное приведен график, построенный на основе выборки из непрерывного равномерного распределения.