Полный факторный эксперимент
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) — совокупность нескольких измерений, удовлетворяющих следующим условиям:
- Количество измерений составляет 2 n , где n — количество факторов;
- Каждый фактор принимает только два значения — верхнее и нижнее;
- В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.
Преимуществами полного факторного эксперимента являются
[expert_bq id=»1570″]Верхним значениям факторов присвоим нормированное значение 1, нижним значениям нормированное значение 1, среднему значению нормированное значение 0. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] 3.12 рандомизация (randomization): Процесс, используемый для назначения обработок экспериментальным единицам, такой, чтобы для каждой экспериментальной единицы вероятность назначения определенной обработки была одинаковой.
Полный факторный эксперимент — Wikiwand
- Число строк в матрице равно 2 n ;
- Нулевой столбец матрицы состоит из единиц:
- В столбцах 1…n находятся все возможные 2 n сочетаний значений −1 и +1;
- В последнем столбце находятся результаты измерений, полученные при значениях факторов, записанных в соответствующих строках в столбцах 1…n.
- Сумма элементов нулевого столбца всегда равна 2 n :
Построение модели технологического процесса позволяет выявить поведение отклика системы в зависимости от изменения факторов и тем самый найти пути для оптимизации технологии. Для данного конкретного случая — выбрать такую толщину эмульсии и время экспозиции, которые обеспечат наилучшее качество изображения.
Предварительные сведения
Оценка параметров системы
В качестве примера систем, оценка параметров которых актуальна с практической точки зрения, могут служить различные технологические процессы. Для иллюстрации рассмотрим процесс фотолитографии.
Итак, технологический процесс фотолитографии описывается некоторой функцией вида
Построение модели технологического процесса позволяет выявить поведение отклика системы в зависимости от изменения факторов и тем самый найти пути для оптимизации технологии. Для данного конкретного случая — выбрать такую толщину эмульсии и время экспозиции, которые обеспечат наилучшее качество изображения.
В общем случае отклик системы описывается некоторой функцией n переменных
Математическая модель системы получается в результате апроксимации этой функции какой-либо другой функцией, например линейной
Матрица эксперимента
Предположим, исходные параметры технологического процесса составляют: толщина плёнки 55 мкм, время экспозиции — 30 с, то есть
Возьмём верхние и нижние значения обоих факторов так, чтобы они располагались симметрично относительно текущего значения, например
Составим таблицу, в которой значения обоих факторов находятся во всех возможных сочетаниях и проведём измерения в этих точках (значения отклика даны условно):
на основании полученных результатов можно составить систему четырёх уравнений с двумя переменными. Ниже показана эта система, а также её сокращённая запись в виде матрицы. Матрицу данного вида назовём матрицей эксперимента.
В матрице эксперимента второй и третий столбцы представляют собой значения факторов, четвёртый столбец — значения отклика системы, а первый столбец содержит единицы, соответствующие единичным коэффициентам свободного члена модели a 0
Решение системы
Чтобы облегчить решение системы, проведём нормировку факторов. Верхним значениям факторов присвоим нормированное значение +1, нижним значениям — нормированное значение −1, среднему значению — нормированное значение 0. В общем виде нормировка фактора выражается формулой
С учётом нормировки факторов система уравнений и матрица эксперимента примут следующий вид:
Поскольку сумма членов во втором и третьем столбце матрицы равны нулю, свободный член модели можно найти, сложив все четыре уравнения:
Чтобы найти какой-либо другой коэффициент модели, нужно изменить знаки в уравнениях таким образом, чтобы в соответствующем столбце оказались одни единицы, после чего сложить все четыре уравнения:
Таким образом, линейная модель технологического процесса в окрестностях точки (55, 30) имеет вид
В общем случае решение системы будет выглядеть как
Возврат к ненормированным факторам
Переход от нормированных к ненормированным факторам осуществляется обратным преобразованием
Чтобы найти параметры модели для ненормированных координат, подставим выражения для нормированных координат в уравнение модели:
Сравнивая последнее выражение с выражением для линейной модели в ненормированных координатах
Окончательно получаем модель в естественных координатах:
Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент — презентация, доклад, проект
- Количество измерений составляет 2 n , где n — количество факторов;
- Каждый фактор принимает только два значения — верхнее и нижнее;
- В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.
Коэффициенты уравнения регрессии находят с помощью метода наименьших квадратов. Коэффициенты уравнения регрессии находят с помощью метода наименьших квадратов. Так как матрица планирования ПФЭ 2k должна удовлетворять определенным требованиям (такие матрицы с заданными требованиями уже построены), то формулы, определяющие коэффициенты уравнения регрессии, достаточно просты:
