Метод Ньютона (метод касательных).
Суть метода состоит в том, что на -й итерации в точке строится касательная к кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 1.6). Если задан интервал изоляции корня , то за начальное приближение принимается тот конец отрезка, на котором
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке с координатами и , имеет вид:
За следующее приближение корня примем абсциссу точки пересечения касательной с ocью OX. Из (1.2) при , получим
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках , и т.д. Формула для -го приближения имеет вид:
Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или .
Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.
Пример 1.2. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью .
Решение. Определим первые и вторые производные заданной функции : ; . Проверим выполнение условия сходимости на концах заданного интервала: — не выполняется, — выполняется. За начальное приближение корня можно принять . Находим первое приближение:
Так как , итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является .
На рис. 1.7 приведена программа решения данного уравнения методом Ньютона. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение и точность вычисления.
Пример 1.3. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью с помощью программы Excel.
| A | B | C | D |
| x | F(x) | F'(x) | погрешность |
| 1,00000 | |||
| 0,75000 | 1,00000 | 4,00000 | 0,25000 |
| 0,68605 | 0,17188 | 2,68750 | 0,06395 |
| 0,68234 | 0,00894 | 2,41198 | 0,00371 |
| 0,68233 | 0,00003 | 2,39676 | 0,00001 |
| Рис. 1.8. Решение уравнения методом Ньютона с помощью программы Excel. |
1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.
2) В ячейку A2 – значение начального приближения
3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1
4) В ячейку C3 – формулу производной функции =3*A2^2+1
5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/C3
6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)
7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.
В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A6 (погрешность в ячейке D6).
Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение необходимо привести к виду .
В качестве можно принять функцию ,где M ‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации . При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:
Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения , получаем новое приближение .
Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:
, ,. , k = 1,2. n.
Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .
| а) | б) |
| Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация метода простой итерации. |
Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью .
Решение. Из условия сходимости (1.5) , при определяем .Пусть .
Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение
Теперь и приближенным решением данного уравнения c точностью является .
На рис.1.10 приведена программа решения данного уравнения методом простой итерации. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение, точность вычисления и значение постоянной М.
Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью с помощью программы Excel.
| A | B | C | D |
| x | f(x) | M | погрешность |
| 0,8 | 0,2 | ||
| 0,7376 | 0,312 | 0,0624 | |
| 0,70982 | 0,13889 | 0,02777881 | |
| 0,69633 | 0,06746 | 0,01349237 | |
| 0,68954 | 0,03396 | 0,00679209 | |
| 0,68606 | 0,01738 | 0,0034769 | |
| 0,68427 | 0,00897 | 0,00179463 | |
| Рис.1.11. Решение уравнения методом простой итерации с помощью программы Excel. |
1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.
2) В ячейку A2 – значение начального приближения
3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1
4) В ячейку C2 – значение M 5
5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/$C$2
6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)
7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.
В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A9 (погрешность в ячейке D9).
[expert_bq id=»1570″]при сохранении книги Excel после поиска решения все значения, введенные в окнах диалога Поиск решения , сохраняются вместе с данными рабочего листа. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] · Метод поиска – служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.
Метод Ньютона (метод касательных).
Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (4), либо приводит к другому корню (5).
| а) | б) |
| Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация метода простой итерации. |
