Работа с матрицами в Excel-2007
Алгоритм выполнения операций с матрицами данных в программе Excel 2007: транспонирование, умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц, создание обратной матрицы, использование метода Крамера и матричного способа, работа с «Мастером функций».
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Транспонировать матрицы можно произвольной размерности, так как при транспонировании строки и столбцы меняются местами.
1. Заполним ячейки таблицы значениями элементов матрицы
2. Выделяем мышкой при нажатой левой кнопке соответствующий диапазон ячеек (обратный исходной матрице).
3. Вызываем мастер функций и в категории «Полный алфавитный перечень находим функцию «ТРАНСП» и нажимаем ОК.
4. В появившемся окне вводим диапазон значений исходной матрицы.
5. Для получения результата зажимаем клавиши «Shift» + «Ctrl», и не отпуская их нажимаем клавишу «Enter».
4. Пишем в строке формул умножение первого значения матрицы на 5 «=L3*5»
5. Растягиваем получившееся значение до конечного вида прямоугольной матрицы.
1. Вводим значения двух прямоугольных матриц в Excel.
5. Растягиваем получившееся значение до конечного вида прямоугольной матрицы.
2. Выделяем мышкой при нажатой левой кнопке соответствующий диапазон ячеек (обратный исходной матрице).
3. Вызываем мастер функций и в категории «Полный алфавитный перечень находим функцию «МУМНОЖ» и нажимаем ОК.
4. В появившемся окне вводим диапазон значений исходной матрицы.
5. Для получения результата зажимаем клавиши «Shift» + «Ctrl», и не отпуская их нажимаем клавишу «Enter».
1. Заполним ячейки таблицы значениями элементов матрицы
2. Выделяем мышкой при нажатой левой кнопке соответствующий диапазон ячеек (обратный исходной матрице).
3. Вызываем мастер функций и в категории «Полный алфавитный перечень находим функцию «МОБР» и нажимаем ОК.
4. В появившемся окне вводим диапазон значений исходной матрицы.
5.Для получения результата зажимаем клавиши «Shift» + «Ctrl», и не отпуская их нажимаем клавишу «Enter».
2. Заполним ячейки таблицы значениями элементов матрицы
4. В появившемся окне вводим диапазон значений исходной матрицы.
5.Для получения результата зажимаем клавиши «Shift» + «Ctrl», и не отпуская их нажимаем клавишу «Enter».
6. Подставляем вместо первого столбика коэффициентов столбик исходных значений.
7.Аналогично нахождению главного определителя находим и первый определитель
8. Подставляем вместо второго столбика коэффициентов столбик исходных значений.
9. Аналогично нахождению главного определителя находим и второй определитель
10. Подставляем вместо третьего столбика коэффициентов столбик исходных значений
11. Аналогично нахождению главного определителя находим и третий определитель
12. Находим первое решение Х1. Для этого используем специальную математическую формулу Крамера.
13. Находим второе решение Х2. Аналогично используем формулу Крамера
14. Находим третье решение Х3. Аналогично используем формулу Крамера
Ответ: В итоге мы находим три решения матрицы по методу Крамера
2. Заполним ячейки таблицы значениями элементов матрицы
4. В появившемся окне вводим диапазон значений исходной матрицы.
5.Для получения результата зажимаем клавиши «Shift» + «Ctrl», и не отпуская их нажимаем клавишу «Enter».
7. В появившемся окне вводим диапазон значений исходной матрицы.
8. Для получения результата зажимаем клавиши «Shift» + «Ctrl», и не отпуская их нажимаем клавишу «Enter».
9.Чтобы найти решение матрицы нам следует умножить обратную матрицу на столбик решений исходной матрицы
10. В появившемся окне вводим диапазоны значений первого массива и второго массива.
11. И в итоге получаем результат решения матрицы с помощью матричного способа.
Для этого нужно снова прибегнуть к помощи матричного умножения. Умножаем исходную матрицу на результат решения.
13. Аналогично нахождению решения матрицы мы делаем проверку
14. И в итоге получаем исходные значения матрицы. Значит задачу мы решили правильно
Подобные документы
Принципы разработки и пример работы программы, реализующей основные операции алгебры матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, а также умножение матрицы на число. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи операций над матрицами.
курсовая работа [956,7 K], добавлен 25.01.2010
Практика построения графиков с использованием функций и работа с мастером диаграмм в ПП Microsoft Excel. Применение встроенных функций работы с матрицами для решения системы линейных уравнений. Практика создания запросов при работе с базами данных.
контрольная работа [436,1 K], добавлен 08.08.2011
Разработка компоненты для математических вычислений (операций над матрицами) с использованием технологии OpenGL (сложение, вычитание, умножение, транспонирование, определитель, обратная матрица). Базовые навыки по работе с технологией в среде .Net.
курсовая работа [365,6 K], добавлен 17.02.2015
Сортировка строк списка в заданном порядке в Excel, технология использования расширенного фильтра. Формирование итогов в списках по заданным условиям. Процесс ввода матрицы в MathCAD. Контур оперативного управления (логистики) комплекса «Галактика».
контрольная работа [779,2 K], добавлен 03.08.2011
Структура программы Pascal и алгоритмы решения задач. Работа с циклическими операторами, массивами, процедурами. Составление блок-схем задач. Операции над матрицами в программе MathCad. Работа формулами, графиками и диаграммами в оболочке MS Excel.
курсовая работа [459,0 K], добавлен 13.08.2012
Функции системного блока, монитора, клавиатуры, мыши, принтера. Операционная система компьютера Microsoft Windows, офисные приложения. Работа с таблицами: элементы окна Excel, создание диаграммы, базы данных, их поиск и замена. Работа с мастером функций.
контрольная работа [578,5 K], добавлен 27.11.2010
Свободная среда разработки программного обеспечения для компилятора Free Pascal. Библиотека визуальных компонентов. Перенос Delphi-программ с графическим интерфейсом в различные операционные системы. Ввод размерности матрицы и умножение ее на вектор.
[expert_bq id=»1570″]Сохранить полученные результаты с помощью кнопки Сохранить при этом книга Excel с ее страницами сохраняется под именем lab-4. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m × n , то транспонированная матрицаА Т имеет размер n × m .
Лабораторно-практическое занятие N4. Умножение матриц. Вычисление обратной матрицы. Решение уравнений и систем линейных уравнений — Студопедия
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: aij , где I – номер строки, а j – номер столбца.
Работа с матрицами с – Работа с матрицами в C#
Диапазон можно использовать как значение переменной, например x := 0,0.01..1.
Если разность прогрессии равна единице (то есть элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6 . 6, перед этой формулой надо указать i := 0..5 j := 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее элементам размеры матрицы можно не задавать заранее.
Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значения.
Например, формула M5,5 := 1 создает матрицу M размером 6 х 6, у которой все элементы, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0.
Стандартные и пользовательские функции
Произвольные зависимости между входными и выходными параметрами задаются при помощи функций. Функции принимают набор параметров и возвращают значение, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно использовать стандартные встроенные функции, а также функции, определенные пользователем.
Чтобы использовать функцию в выражении, надо определить значения входны параметров в скобках после имени функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Calculator (Счет).
Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной системе. Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи команды
Insert.Function (Вставка.Функция). В диалоговом окне Insert Function (Встав-
ка функции) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа — конкретная функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров.
Пользовательские функции должны быть сначала определены. Определение
Решение уравнений и систем
Для численного поиска корней уравнения в программе Mathcad используется
функция root. Она служит для решения уравнений вида f(x) = 0, где f(x) — выражение, корни которого нужно найти, а х — неизвестное. Для поиска
Функции для работы с матрицами в Excel
В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.
Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.
Формулы массива
Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).
В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.
Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.
Решение матриц в Excel
С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.
Транспонирование
Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.
Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.
- 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
- 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.
Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.
Сложение
Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.
В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+h3). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.
Умножение матриц в Excel
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).
Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.
В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.
Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:h21). Вводим как формулу массива.
Обратная матрица в Excel
Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).
Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.
Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:
Нахождение определителя матрицы
Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.
Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).
Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.
Функции для работы с матрицами в табличном процессоре.
Средства MS Excel оказываются весьма полезны в линейной алгебре, прежде всего для операций с сматрицами и решения систем линейных уравнений.
Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: aij , где I – номер строки, а j – номер столбца.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой:
Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно n, то такую матрицу называют квадратной n-го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:
Если у элемента матрицы aij номер столбца равен номеру строки (i=j), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы
Квадратная матрица с равными нулю всеми недиагональными элементами называется диагональной. Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и все диагональные элементы равны единице. Различают единичные матрицы первого, второго, третьего и т. д. порядков
Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю
Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.
Транспонированной называется матрица (АТ), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.
Для обозначения транспонированной матрицы иногда используют символ «’» (A’). Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (АТ).
Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m×n, то транспонированная матрица АТ имеет размер n×m.
Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.
Функция имеет вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.
Предположим, что диапазон ячеек A1:E2 введена матрица размера 2×5
1. Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, A4:B8.
2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.
3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция – имя функции ТРАНСП . После этого щелкните на кнопке ОК.
Работа с векторами и матрицами.
Полученную переменную можно использовать для дальнейших вычислений, например:
Вы можете использовать стандартные математические операторы (+, -,*, /, ^) и функции, такие как sin, cos, tan (тангенс), cot (котангенс), log (натуральный
логарифм), log10(десятичный), log2, exp … Для изменения порядка выполнения операций используйте ( ). Аргументы функции задаются в круглых скобках.
Записав начальные буквы имени функции, и, нажав клавишу TAB, будет выведен список функций начинающихся с этих букв (если таковые есть) либо слово будет
Во время работы вы можете получить справку по интересующей вас функции, набрав
MATLAB это система, работающая с матрицами. Все численные
вычисления производятся в матричной форме. Система MATLAB выполняет сложные и трудоемкие операции над векторами и матрицами даже в режиме
прямых вычислений без какого-либопрограммирования. Ею можно пользоваться
как мощнейшим калькулятором, в котором наряду с обычными арифметическими
операций над обычными числами и массивами. Это также означает, что большинство функций может работать с аргументами в виде векторов и матриц.
При необходимости вектора и матрицы преобразуются в массивы, и значения
7 Работа с матрицами
7.1 Векторные и матричные операции
Некоторые из операторов MathCad имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения * при применении к векторам означает скалярное умножение и умножение матриц — когда применяется к матрицам.
Векторные и матричные операторы доступны на панели Символьная. Если результатом является вектор, то это обязательно вектор-столбец, а не вектор-строка.
Степень матрицы. Для квадратной матрицы А и целого положительного n вычисляется n-я степень матрицы А, при n отрицательном n-я степень обратной матрицы А.
А -1 – обратная матрица – такая матрица, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Е — единичная матрица — квадратная матрица, элементыглавной диагоналикоторой равны единице, а остальные элементы равны нулю:
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.
А Т — транспонированная матрица — матрица, полученная из исходной матрицызаменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров— матрицаразмеров, определённая как A T [i,j] = A[j,i].
7.2 Функции, возвращающие специальные характеристики матриц
max(V) — возвращает максимальный по значению элемент матрицы V;
min(V) — возвращает минимальный по значению элемент матрицы V;
cols(V) — возвращает число столбцов матрицы V;
rows(V) — возвращает число строк матрицы V;
tr(V) — возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы V;
csort(V,n) — возвращает матрицу с переставленными строками в соответствии с элементами N-го столбца, расположенными по возрастанию;
rsort(V,n) — возвращает матрицу с переставленными столбцами в соответствии с элементами N-ой строки, расположенными по возрастанию.
7.3 Упражнения к теме 7
Переставить столбцы матрицы по элементам первой строки, по элементам второго столбца.
Найти произведения матриц АВ и ВА, если и.
Найти значение матричного многочлена , если, аЕ — единичная матрица третьего порядка.
Вводим с клавиатуры функцию rsort, вводим аргументы D и 0 (т.к. по умолчанию нумерация строк и столбцов в MathCad начинается с 0), щелкаем знак «=», получаем результат:
Раздел 2 — Работа с матрицами в Scilab(230114)
Матрица в среде Scilab может вводиться несколькими способами:
Вектор столбец можно вводить b 2 несколькими способами
Таким образом матрица и вектор начинается с символа [ , а заканчивается символом ]. Разделение на элементы внутри строки осуществляется пробелом или символом ,. Разделение на строки осуществляется символом ;.
Обращаться к элементам матрицы или вектора можно так a(1,2) есть элемент a12 , b(2) есть элементb2 .
— — поэлементное вычитание элементов матриц * — матричное умножение
Если одним из операндов является число, то элементы другого операнда (матрицы)
.* — поэлементное умножение матриц / — матричное деление справа
Примечание. С матрицами можно строить выражение с использованием арифметических функций. При этом функция будет вычисляться от каждого элемента матрицы.
Среда Scilab позволяет работь с блочными матрицами, что иногда бывает очень полезным.
При построении блочной матрицы размеры соответствующих блоков должны быть согласованы.
Одной еще интересной возможностью является разбиение матрицы на блоки используя оператор двоеточие ( : ) для индексов матрицы.
k:m:n=[k k+m k+2m … n-2mn-mn], еслиn-kнацело делится на m и m>0
Конструкция [1 3] означает, что из матрицы a будут выбраны элементы с индексами 1 и 3. Например
матрице с переставленными строками и столбцами a a
Для построения из матрицы a матрицы с вычеркнутой 2-ойстрокой можно поступить следующим образом:
Другим способом удаления строки или столбца является помещение на его место пустой матрицы [ ].
Какой способ является предпочтительным, зависит от типа конкретной решаемой задачи.
Используя описанные выше команды можно вычислять миноры матрицы. Рассмотрим
Здесь det( ) обозначает функцию вычисления определителя матрицы.
Реализуем метод Крамера для вычисления решения x системы
Для проверки необходимо проверить вектор невязки на нуль
По-другомуметод Крамера можно было бы реализовать так
—>сa=a, ca(:,1)=b—>x1=det(ca)/da—>сa=a, ca(:,2)=b—>x2=det(ca)/da—>сa=a, ca(:,3)=b—>x2=det(ca)/da—>x=[x1;x2;x3]
Определение размеров матрицы можно делать с помощью функции size —>[n,m]=size(A)
Для определения длины вектора наряду с функцией size можно использовать функцию length
В среде Scilab имеется три функции, позволяющие создавать следующие матрицы: Для создания единичной матрицы порядка n можно использовать команду eye(n)
Для создания матрицы порядка n состоящей из единиц можно использовать команду ones(n)
Для создания матрицы порядка n состоящей из нулей можно использовать команду zeros(n)
Функция det используется для вычисления определителя матрицы
Функция rank используется для вычисления ранга матрицы
Функция inv используется для вычисления обратной матрицы
Используя эту функцию, можно решать систему линейных алгебраических уравнений ax b с помощью команды
В качестве альтернативы такого способа решения можно предложить два других
Функция diag используется как для получения из матрицы вектора диагональных
так и для построения матрицы с заданной диагональю
Функция sum используется для суммирования элементов матрицы и вектора :
Функция prod используется для вычисления произведения элементов матрицы и вектора
Работа с матрицами
Векторы и матрицы рассматриваются в программе MathCad как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert ► Matrix (Вставка ► Матрица). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.
После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение.
– поэлементное произведение матриц с использованием векторизации.
Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица).
Решить уравнение методом обратной матрицы в эксель. Решение систем линейных уравнений в EXCEL
- 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
- 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.
В этой статье рассмотрены операции умножения матриц с помощью функции МУМНОЖ() или англ.MMULT и с помощью других формул, а также свойства ассоциативности и дистрибутивности операции умножения матриц. Примеры решены в MS EXCEL.
