Расчет параметров уравнения тренда
Назначение сервиса . Сервис используется для расчета параметров тренда временного ряда yt онлайн с помощью метода наименьших квадратов (МНК), а также способом от условного нуля. Для этого строится система уравнений:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t 2 = ∑y•t
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .
Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.
Способ отсчета времени от условного начала
- С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
- С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
- Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t 2 = ∑y•t
t | y | t 2 | y 2 | t y |
-9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 |
-7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 |
-5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 |
-3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 |
-1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 |
1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 |
3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 |
5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 |
7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 |
9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 |
0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 |
Для наших данных система уравнений примет вид:
10a0 + 0a1 = 10400
0a0 + 330a1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -12.236, a1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t + a2∑t 2 = ∑y
a0∑t + a1∑t 2 + a2∑t 3 = ∑yt
a0∑t 2 + a1∑t 3 + a2∑t 4 = ∑yt 2
t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
-9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 | -729 | 6561 | 101169 |
-7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 | -343 | 2401 | 55517 |
-5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 | -125 | 625 | 26075 |
-3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 | -27 | 81 | 9270 |
-1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 | -1 | 1 | 1016 |
1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 | 1 | 1 | 1005 |
3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 | 27 | 81 | 8964 |
5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 | 125 | 625 | 24625 |
7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 | 343 | 2401 | 47775 |
9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 | 729 | 6561 | 78408 |
0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 | 0 | 19338 | 353824 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a0 + 0a1 + 330a2 = 10400
0a0 + 330a1 + 0a2 = -4038
330a0 + 0a1 + 19338a2 = 353824
Получаем a0 = 1.258, a1 = -12.236, a2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 — количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = yn+L ± K
где
1001.89 — 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
Пример №2 . Покажем пример подробного расчета параметров уравнения тренда на основе следующих данных (см. таблицу).
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b.
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t 2 = ∑y•t
t | y | t 2 | y 2 | t•y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a0 + 78a1 = 567.8
78a0 + 650a1 = 4602.3
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 6.37, a1 = 5.88
Примечание: значения столбца №6 y(t) рассчитываются на основе полученного уравнения тренда. Например, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26
Уравнение тренда
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние Х на Y не существенно.
т.е. в 82.04 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами — точность подбора уравнения тренда — высокая
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Дисперсия ошибки уравнения.
где m = 1 — количество влияющих факторов в модели тренда.
Стандартная ошибка уравнения.
Fkp = 4.84
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
Пример №3 . В таблице представлены данные, характеризующие динамику продаж некоторой продукции. Определить оптимальный тренд и оценить его значимость на уровне значимости равным 0,05. Дать точечный прогноз и с надежностью 0,95 интервальный прогноз среднего и индивидуального значений реализации продукции на одиннадцатый год.
Решение.
Скачать
Использование линий тренда
- С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
- С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
- Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
Возможность оценивать и сравнивать наклоны может иметь решающее значение для всего, от научной отчетности до финансовых документов. Тем, кто решает математические задачи, может также потребоваться знать, как найти наклон линии в Google Таблицах.
t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
-9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 | -729 | 6561 | 101169 |
-7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 | -343 | 2401 | 55517 |
-5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 | -125 | 625 | 26075 |
-3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 | -27 | 81 | 9270 |
-1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 | -1 | 1 | 1016 |
1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 | 1 | 1 | 1005 |
3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 | 27 | 81 | 8964 |
5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 | 125 | 625 | 24625 |
7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 | 343 | 2401 | 47775 |
9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 | 729 | 6561 | 78408 |
0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 | 0 | 19338 | 353824 |