Содержание

Определители, их вычисление и свойства

Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:

и многих других, которые так любят придумывать преподаватели.

Понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке — из первого уравнения, во второй строке — из второго уравнения:

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

Числа называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, . n; j = 1, 2, . n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

По теме «Определители» на сайте есть также отдельный урок по вычислению минора и алгебраического дополнения.

Вычисление определителей второго и третьего порядков

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

— произведение элементов, стоящих соответственно на главной и на побочной диагоналях.

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным – произведение элементов побочной диагонали .

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя (рис. 1).

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны .

На рис.1 главная диагональ и соответствующие ей основания треугольников и побочная диагональ и соответствующие ей основания треугольников выделены красным цветом.

При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Вычисление определителей n-го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Для вычисления определителя n-го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

Если минор умножить на , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается ,

Вообще, минор элемента будем обозначать , а алгебраическое дополнение ,

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка :

При разложении определителя часто используется следующее свойство определителя n-го порядка:

если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

здесь разложение проведено по элементам первой строки.

Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь

В четвёртом столбце полученного определителя три элемента – нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. Поэтому

А в следующем примере показано, как вычисление определителя любого (в данном случае — четвёртого) порядка можно свести к вычислению определителя второго порядка.

Вычтем из третьей строки элементы первой строки, а к элементам четвёртой строки прибавим элементы первой строки, тогда будем иметь

Приведение определителя к треугольному виду

Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. Случай побочной диагонали путём изменения порядка строк или столбцов на обратный сводится к случаю главной диагонали. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Для приведения к треугольному виду используется то же самое свойство определителя n-го порядка, которое мы применяли в предыдущем параграфе: если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Произведём следующие преобразования. Вычтем из второй, третьей и четвёртой строк элементы первой строки. Получим определитель треугольного вида:

Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали:

Свойства определителя n-го порядка

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.

И на десерт — решение задачи, с которой начинается эта статья.

Шаг 1. Вычисляем определитель второго порядка, который находится в левой части уравнения. Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали:

Шаг 2. Вычисляем определитель третьего порядка, который образует правую часть уравнения. Делаем это по «правилу треугольников»:

Приравниваем обе части, получаем уравнение и решаем его:

[expert_bq id=»1570″]Чтобы получить в 3 строке 1-го столбца, умножим на элементы 1-ой строки и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Удобно решать матрицу третьего порядка методом Гаусса, где нужно выполнить элементарные преобразования матрицы и привести её к ступенчатому виду. Определитель матрицы равняется произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Определитель матрицы — порядок вычисления определителя матрицы, примеры и решения

Перед определённым слагаемым может появится в том случае, если элементы матрицы в произведении идут по порядку (по номеру строку), а количество инверсий в перестановке множество номеров столбцов нечётно.

Как сделать проверку обратной матрицы в excel?

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля.

СОВЕТ: О нахождении определителя матрицы читайте статью Вычисление определителя матрицы в MS EXCEL

Матрица А -1 называется обратной для исходной матрицы А порядка n, если справедливы равенства А -1 *А=Е и А*А -1 =Е, где Е единичная матрица порядка n.

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция МОБР() .

Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне А8:В9, то для получения транспонированной матрицы нужно (см. файл примера ):

выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазономА8:В9, например, Е8:F9
в Cтроке формул ввести формулу = МОБР (A8:B9) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2)

Если матрица большей размерности, то перед вводом формулы нужно выделить соответственно больший диапазон ячеек.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон.

Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.

Если функция МОБР() вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция МОБР() пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает СУММ() ), а как ошибочное значение.

Вычисление обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений

СОВЕТ: Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОБР() .

В файле примера приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.

Вычисляем определитель матрицы А (далее – Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима)
Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений
Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу

В качестве проверки можно перемножить исходную и обратную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Приложение Excel выполняет целый ряд вычислений, связанных с матричными данными. Программа обрабатывает их, как диапазон ячеек, применяя к ним формулы массива. Одно из таких действий – это нахождение обратной матрицы. Давайте выясним, что представляет собой алгоритм данной процедуры.

Выполнение расчетов

Вычисление обратной матрицы в Excel возможно только в том случае, если первичная матрица является квадратной, то есть количество строк и столбцов в ней совпадает. Кроме того, её определитель не должен быть равен нулю. Для вычисления применяется функция массива МОБР. Давайте на простейшем примере рассмотрим подобное вычисление.

Расчет определителя

Прежде всего, вычислим определитель, чтобы понять, имеет первичный диапазон обратную матрицу или нет. Это значение рассчитывается при помощи функции МОПРЕД.

Запускается Мастер функций. В перечне записей, который он представляет, ищем «МОПРЕД», выделяем этот элемент и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов. Ставим курсор в поле «Массив». Выделяем весь диапазон ячеек, в котором расположена матрица. После того, как его адрес появился в поле, жмем на кнопку «OK».

Расчет обратной матрицы

Теперь можно преступить к непосредственному расчету обратной матрицы.

В открывшемся списке выбираем функцию МОБР. Жмем на кнопку «OK».

Как видим, после этих действий обратная матрица вычислена в выделенных ячейках.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Подробно рассмотрим особенности вычисления обратной матрицы в Excel и примеры использования функции МОБР.

В первую очередь освежим в памяти, что обратная матрица — это матрица (записывается как A -1 ), при умножении которой на исходную матрицу (A) дает единичную матрицу (E), другими словами выполняется формула:

Из определения следует важное свойство, что обратная матрица определена только для квадратных (т.е. число строк и столбцов совпадает) и невырожденных матриц (т.е. определитель отличен от нуля).

Как найти обратную матрицу в Excel?

Функция МОБР

МОБР(массив)
Возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).

Рассмотрим расчет обратной матрицы посредством функции МОБР на конкретном примере.
Предположим у нас имеется следующая квадратная матрица 3-го порядка:

Выделяем диапазон пустых ячеек E2:G4, куда мы в дальнейшем поместим обратную матрицу.
Не снимая выделения ячеек вводим формулу =МОБР(A2:C4) и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Ввод для расчета формулы массива по данному диапазону:

При работе с функцией МОБР могут возникнуть следующие ошибки:

[expert_bq id=»1570″]Инверсия в перестановке порядка это упорядоченный набор чисел его ещё называют биекцией , где из них два числа образуют некий беспорядок. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Инверсия в перестановке порядка – это упорядоченный набор чисел (его ещё называют биекцией), где из них два числа образуют некий беспорядок. Это когда большее из чисел в данной перестановке расположено левее меньшего числа.

Как сделать проверку обратной матрицы в excel?

выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазономА8:В9, например, Е8:F9
в Cтроке формул ввести формулу = МОБР (A8:B9) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2)

В качестве аргументов из группы «Массив» используется ссылка на конкретный диапазон, который нужно перемножить. Всего может быть использовано от двух до 255 таких аргументов. Но в нашем случае, так как мы имеем дело с двумя матрицами, нам понадобится как раз два аргумента.

Функция для умножения матриц в excel. Решение системы уравнений в Excel методом Крамера и обратной матрицы

Средства MSExcel оказываются весьма полезны в линейной алгебре, прежде всего для операций с сматрицами и решения систем линейных уравнений.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть a ij =b ij для любых i=1,2, …, m; j=1,2, …, n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой:

Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно n, то такую матрицу называют квадратной n-го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:

Если у элемента матрицы a ij номер столбца равен номеру строки (i=j), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы

Квадратная матрица с равными нулю всеми недиагональными элементами называется диагональной.

Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и все диагональные элементы равны единице. Единичная матрица имеет следующий вид: Различают единичные матрицы первого, второго, третьего и т. д. порядков:

Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю:

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонированной называется матрица (А Т), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

Для обозначения транспонированной матрицы иногда используют символ «’» (A’). Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (А Т).

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m × n , то транспонированная матрицаА Т имеет размер n × m .

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Функция имеет вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

Пример 1.1 Предположим, что диапазон ячеек A1:E2 введена матрица размера 2×5

1. Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, A4:B8.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция – имя функции ТРАНСП (рис. 1.1). После этого щелкните на кнопке ОК.

Рис. 1.1. Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций

4. Появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы A1:E2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

5. Если транспонированная матрица не появилась в диапазоне A4:B8, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне A4:B8 появится транспонированная матрица:

Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы А обозначается как |А| или ∆.

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11), или определителем первого порядка, называется элемент а 11 .

Определителем матрицы второго порядка А = (a ij), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Произведения а 11 а 22 и а 12 а 21 называются членами определителя второго порядка.

С ростом порядка матрицы n резко увеличивает число членов определителя (n!). Например, при n=4 имеем 24 слагаемых. Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. При применении компьютера в использовании этих приемов нет необходимости.

В MSExcel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Здесь массив – это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:С3; или как массив констант, например, . Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3×3), определитель вычисляется следующим образом:

Пример 1.2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:С3 введена матрица:

1. Табличный курсор поставьте в ячейку, в которую требуется получить значение определителя, например, А4.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

4. Появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке) Нажмите кнопку ОК (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Пример заполнения диалогового окна МОПРЕД

Для каждого числа а≠0 существует обратное число а -1 , и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля (|А|≠0); в противном случае (|А|=0) матрица называется вырожденной или особенной.

Существуют специальные достаточно сложные алгоритмы для ручного вычисления обратных матриц. В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица, рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

Тогда обратная матрица вычисляется следующим образом:

В MSExcel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.

Одной из частых операций, которую выполняют при работе с матрицами, является перемножение одной из них на другую. Программа Excel является мощным табличным процессором, который предназначен, в том числе и для работы над матрицами. Поэтому у него имеются инструменты, которые позволяют перемножить их между собой. Давайте узнаем, как это можно выполнить различными способами.

Сразу нужно сказать, что перемножить между собой можно далеко не все матрицы, а только те, которые соответствуют определенному условию: число столбцов одной матрицы должно быть равным числу строк другой и наоборот. Кроме того, исключается наличие в составе матриц пустых элементов. В этом случае тоже выполнить требуемую операцию не получится.

Способов перемножить матрицы в Экселе все-таки не так уж и много — всего два. И оба они связаны с применением встроенных функций Excel. Разберем в деталях каждый из данных вариантов.

Способ 1: функция МУМНОЖ

Наиболее простым и популярным вариантом среди пользователей является применение функции МУМНОЖ . Оператор МУМНОЖ относится к математической группе функций. Как раз его непосредственной задачей и является нахождение произведения двух матричных массивов. Синтаксис МУМНОЖ имеет такой вид:

Таким образом этот оператор имеет два аргумента, которые представляют собой ссылки на диапазоны двух перемножаемых матриц.

Теперь давайте посмотрим, как используется функция МУМНОЖ на конкретном примере. Имеется две матрицы, число строк одной из которых, соответствует количеству столбцов в другой и наоборот. Нам нужно перемножить два этих элемента.

Способ 2: использование составной формулы

Кроме того, существует ещё один способ умножения двух матриц. Он более сложный, чем предыдущий, но тоже заслуживает упоминания, как альтернативный вариант. Данный способ предполагает использование составной формулы массива, которая будет состоять из функции СУММПРОИЗВ и вложенного в неё в качестве аргумента оператора ТРАНСП .

«Вставить функцию»

То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на тот массив, который следует «перевернуть». Вернее, в нашем случае даже не на весь массив, а только на его первый столбец.

Для копирования прибегнем к использованию маркера заполнения. Наводим курсор на нижний правый угол ячейки, в которой расположена формула. Курсор преобразуется в черный крестик. Это и есть маркер заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор по всему вышеуказанному диапазону. Сама начальная ячейка с формулой должна стать левым верхним элементом данного массива.

В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

Формулы массива

Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

Решение матриц в Excel

С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

Транспонирование

Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

Сложение

Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

Обратная матрица в Excel

Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

Вычислить значения корней сформированной системы уравнений двумя методами: обратной матрицы и методом Крамера.

Введем данные значения в ячейки А2:С4 – матрица А и ячейки D2:D4 – матрица В.

Решение системы уравнений методом обратной матрицы

Решение системы уравнений методом Крамера

Решим систему методом Крамера, для этого найдем определитель матрицы.
Найдем определители матриц, полученных заменой одного столбца на столбец b.

Найдем корни уравнения, для этого в ячейку В21 введем: =B16/$B$15, в ячейку В22 введем: = =B17/$B$15, в ячейку В23 введем: ==B18/$B$15.

Определитель матрицы

В высшей математике очень часто при решении задач нужно вычислять определитель матрицы. В данной статье рассмотрим, что такое определитель матрицы и научимся решать определители второго, третьего и четвёртого порядка.

Часто в ВУЗе попадаются задачи по высшей математики, в которых необходимо вычислить определитель матрицы. К слову, определитель может быть только в квадратных матрицах. Ниже рассмотрим основные определения, какими свойствами обладает определитель и как его правильно вычислить.. Также на примерах покажем подробное решение.

Что такое определитель матрицы: вычисление определителя при помощи определения

Определитель матрицы обозначается – (сокращенно от латинского названия детерминант), или .

Напомним ещё несколько вспомогательных определений:

Для множества, которое содержит элементов есть факториал (n), который всегда обозначается восклицательным знаком: . Перестановки отличаются друг от друга всего лишь порядком следования. Чтобы вам было понятнее, приведём пример:

Рассмотрим множество из трёх элементов . Всего перестановок 6, так как .:

Инверсия в перестановке порядка – это упорядоченный набор чисел (его ещё называют биекцией), где из них два числа образуют некий беспорядок. Это когда большее из чисел в данной перестановке расположено левее меньшего числа.

Выше мы рассматривали пример с инверсией перестановки, где были числа . Так вот, возьмём вторую строку, где судя по данным числам получается, что , а , так как второй элемент больше третьего элемента . Возьмём для сравнения шестую строку, где расположены числа: . Здесь есть три пары: , а , так как ; , так как ; , – .

Саму инверсию мы изучать не будем, а вот перестановки нам очень пригодятся в дальнейшем рассмотрении темы.

– перестановка чисел от 1 до бесконечного числа , а – число инверсий в перестановке. Таким образом, в определитель входит слагаемых, которые называются “членами определителя”.

Можно вычислять определитель матрицы второго порядка, третьего и даже четвёртого. Также стоит упомянуть:

Чтобы понять данную формулу, опишем её более подробно. Определитель квадратной матрицы x – это сумма, которая содержит слагаемых, а каждое слагаемое является собой произведением определённого количества элементов матрицы. При этом, в каждом произведении есть элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Выше упоминалось о том, что определитель матрицы обозначается или , то есть, определитель часто называют детерминантом.

Из формулы видно, что определитель матрицы первого порядка – это элемент этой же матрицы .

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Вычисление определителя матрицы второго порядка

Чаще всего на практике определитель матрицы решается методами второго, третьего и реже, четвёртого порядка. Рассмотрим, как вычисляется определитель матрицы второго порядка:

В матрице второго порядка , отсюда следует, что факториал . Прежде чем применить формулу

необходимо определить, какие данные у нас получаются:

Исходя из вышесказанного мы получаем формулу для вычисления определителя квадратной матрицы второго порядка, то есть x :

Рассмотрим на конкретном примере, как вычислять определитель квадратной матрицы второго порядка:

Для решения необходимо воспользоваться ранее рассмотренной формулой:

Вычисление определителя матрицы третьего порядка: пример и решение по формуле

Определитель матрицы третьего порядка – это число, полученное из девяти заданных чисел, расположенных в виде квадратной таблицы,

Определитель третьего порядка находится почти так же, как и определитель второго порядка. Разница лишь в формуле. Поэтому, если хорошо ориентироваться в формуле, тогда и проблем с решением не будет.

Исходя из данной матрицы, понимаем, что , соответственно, факториал = , а это значит, что всего перестановок получается

Чтобы применить правильно формулу , необходимо найти данные:

. , количество инверсий в перестановке , а соответствующие произведения = ;

. , количество инверсий в перестановке , соответствующие произведения = ;

. , инверсий в перестановке , соответствующие произведение = ;

. ; инверсий в перестановке , соответствующие произведение =

. ; инверсий в перестановке , соответствующие произведение = .

Таким образом у нас получена формула для вычисления определителя матрицы порядка x :

Нахождение матрицы третьего порядка по правилу треугольника (правило Саррюса)

Как говорилось выше, элементы определителя 3-го порядка расположены в трёх строках и трёх столбцах. Если ввести обозначение общего элемента , тогда первый элемент обозначает номер строки, а второй элемент из индексов – номер столбца. Есть главная (элементы ) и побочная (элементы ) диагонали определителя. Слагаемые в правой части называются членами определителя).

Видно, что каждый член определителя находится в схеме только по одному элементу в каждой строке и каждого столбца.

Вычислять определитель можно при помощи правила прямоугольника, который изображён в виде схемы. Красным цветом выделены члены определителя из элементов главной диагонали, а также члены из элементов, которые находятся в вершине треугольников, что имеют по одной стороне, параллельны главной диагонали (лева схема), беруться со знаком .

Члены с синими стрелками из элементов побочной диагонали, а также из элементов, которые находятся в вершинах треугольников, что имеют стороны, параллельные побочной диагонали (правая схема) берутся со знаком .

На следующем примере научимся, как вычислять определитель квадратной матрицы третьего порядка.

Вычисляем определитель, применяя формулу или схему, которые рассматривались выше:

Рекомендуем запомнить формулы для нахождения определителя матрицы второго и третьего порядка, так как они часто применяются на зачётах и экзаменах.

Основные свойства определителей матрицы третьего порядка

На основании предыдущих определений и формул рассмотрим основные свойства определителя матрицы.

1. Размер определителя не изменится при замене соответствующих строк, столбцов (такая замена называется транспонированием).

На примере убедимся, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы:

Мы убедились, что определитель транспортированной матрицы равен исходной матрице, что говорит о правильном решении.

2. Знак определителя изменится на противоположный, если в нём поменять местами любые два его столбца или две строки.

Нужно показать, что определители данных матриц противоположные.

В матрице и в матрице поменялись строки (третья с первой, и с первой на третью). Согласно второму свойству определители двух матриц должны отличаться знаком. То есть, одна матрица с положительным знаком, а вторая – с отрицательным. давайте проверим данное свойство, применив формулу для вычисления определителя.

3. Определитель равняется нулю, если в нём есть одинаковые соответствующие элементы в двух строках (столбцах). Пусть у определителя одинаковые элементы первого и второго столбцов:

Поменяв местами одинаковые столбцы, мы, согласно свойству 2 получим новый определитель: = . С другой стороны, новый определитель совпадает с изначальным, поскольку одинаковые ответы элементы, то есть = . Из этих равенств у нас получается: = .

4. Определитель равняется нулю, если все элементы одной строки (столбца) нули. Это утверждение выплывает из того, что у каждого члена определителя по формуле (1) есть по одному, и только по одному элементу с каждой строки (столбца), у которого одни нули.

В нашей матрицы есть два одинаковых столбца (второй и третий), поэтому, исходя из данного свойства, определитель должен равняться нулю. Проверим:

И действительно, определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равняется нулю.

5. Общий множитель элементов первой строки (столбца) можно вынести за знак определителя:

6. Если элементы одной строки или одного столбца определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки (столбца), тогда такой определитель равняется нулю.

Действительно, за свойством 5 коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, и тогда воспользоваться свойством 3.

7. Если каждый из элементов строк (столбцов) определителя является суммой двух слагаемых, то этот определитель можно подать в виде суммы соответствующих определителей:

Для проверки достаточно записать в развёрнутом виде по (1) определитель, что в левой части равенства, тогда отдельно сгруппировать члены, в которых содержатся элементы и .Каждая из полученных групп слагаемых будет соответственно первым и вторым определителем с правой части равенства.

8. Значения определения не изменятся, если к элементу одной строки или одного столбца прибавить соответствующие элементы второй строки (столбца), умноженные на одно и то же число:

9. Определитель матрицы , , равняется сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Здесь по подразумевается алгебраическое дополнение элемента матрицы . При помощи данного свойства можно вычислять не только матрицы третьего порядка, но и матрицы более высших порядков ( x или x ).Другими словами – это рекуррентная формула, которая нужна для того, чтобы вычислить определитель матрицы любого порядка. Запомните её, так как она часто применяется на практике.

Стоит сказать, что при помощи девятого свойства можно вычислять определители матриц не только четвёртого порядка, но и более высших порядков. Однако, при этом нужно совершать очень много вычислительных операций и быть внимательным, так как малейшая ошибка в знаках приведёт к неверному решению. Матрицы высших порядков удобнее всего решать методом Гаусса, и об этом поговорим позже.

10. Определитель произведения матриц одного порядка равен произведению их определителей.

Убедитесь, что определитель двух матриц и равен произведению их определителей. Даны две матрицы:

Сначала находим произведение определителей двух матриц и .

Теперь выполним умножение обеих матриц и таким образом, вычислим определитель:

Вычисление определителя матрицы при помощи метода Гаусса

Вспомним, как метод Гаусса помогает находить определитель матрицы: благодаря элементарным преобразованием в матрице все элементы (кроме ) нужно привести к нулю. Однако, такой метод подходит только к тем матрицам, в которых определитель отличен от нуля. Об этом поговорим позже, а сейчас объясним, для чего проделывается такая процедура.

Нулевые элементы необходимы для того, чтобы самым простым способом разложить определитель, исходя из элементов первого столбца. После такого преобразования, исходя из девятого свойства и , получается:

Здесь – это минор первого порядка, который получился из матрицы путём вычёркивания элементов первой строки и первого столбца. Такая процедура проделывается до тех пор, пока все элементы первого столбца не превратятся в нулевые элементы.

Конечно же, сразу же назревает вопрос: “А как же получается нулевые элементы?” Рассмотрим алгоритм решения:

Если первый элемент в первой строке и в первом столбце прибавить к соответствующим элементом – ой строки, где . (Метод Гаусса не нужен только в том случае, если все элементы в первом столбцы нулевые). После данного преобразования “новый” элемент матрицы . Определитель “новой” матрицы равен определителю исходной матрицы.

Напомним, что величина определителя – ого порядка равна сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующее алгебраическое дополнение.

Рассмотрим записанный сначала формально определитель четвёртого порядка:

Вычёркивая в – тую строку и – тый столбец, на пересечении которого помещается элемент , получим определитель третьего порядка, который называется минором элемента и обозначается . Тогда – алгебраическое дополнение элемента . Определитель 4-го порядка можно обозначить, как размещение по элементам, например, первого столбца:

Пусть введено понятие определителя – ого порядка, тогда определитель – ого порядка:

Можно изобразить, как размещение по элементам первого столбца:

где – алгебраические дополнения, а – миноры элементов первого столбца. Последние и есть определители – го порядка.

Чтобы было более понятно, разберём матрицу четвёртого порядка, где нужно найти определитель:

Нужно вычислить определитель матрицы высшего порядка x :

Сначала вспомним тему про определители третьего порядка и превратим в нули элементы 1-го столбца, которые принадлежат 2, 3, 4 строкам. Для этого прибавим соответствующие элементы 1 и 2 строк. На месте элементов получим , , , .

Чтобы получить в 3 строке 1-го столбца, умножим на элементы 1-ой строки и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:

Умножим элементы 1-ой строки на и добавим к соответствующим элементам 4-ой строки. Получается:

Изначальный определитель впоследствии преобразований получается:

Дальше раскладываем последний определитель за элементами 1-го столбца. Поскольку , а остальные элементы 1-го столбца нули, тогда получим один определитель 3-го порядка.

Вычисление определителя матрицы при помощи теоремы Лапласа

Теорема Лапласа – это глубокое разложение определителя по элементам. При помощи данной теоремы можно решать матрицы не только третьего порядка, но и более высших порядков.

Напомним – минор – это определитель матрицы, который составлен методом вычёркивания – той строки и – того столбца. А алгебраическое дополнение – соответствующий минор, который берётся со знаком минус . Знаки же зависят от места элемента в определителе и определяются по схеме:

Приведём пример решения алгебраических дополнений по схеме:

Найти алгебраические дополнения элементов определителя:

Понятия алгебраического дополнения даёт возможность ещё одного способа определения определителя, который утверждается теоремой Лапласа (про распределение определителя):

Определитель равняется сумме произведения элементов строк (столбца) на их алгебраические дополнения. Например,

Заметно, как последнее выражение совпадает с выражением из правила треугольника (правила Саррюса). Давайте по теореме Лапласа разберём несколько примеров:

Вычислить определитель матрицы, разложив его за элементами третьего порядка:

Заключение

Итак, определитель квадратной матрицы – это число, полученное при помощи заданных чисел, расположенных в виде квадратной таблицы,которое вычисляется по рассмотренным выше формулам. Мы рассмотрели три основных способа вычисления определителя:

через сумму двух произведений сочетаний элементов квадратной матрицы;
по правилу разложения определителя по элементам строк (столбцов) квадратной матрицы;
по методу Гаусса, когда матрицу нужно привести к треугольному виду.

Также были рассмотрены формулы для решения матрицы второго, третьего и высших порядков.

Мы разобрали 10 свойств определителя матриц, благодаря которым можно быстрее и легче найти определитель матрицы.

Удобно решать матрицу третьего порядка методом Гаусса, где нужно выполнить элементарные преобразования матрицы и привести её к ступенчатому виду. Определитель матрицы равняется произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

[expert_bq id=»1570″]Возникает естественный вопрос а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Здесь – это минор первого порядка, который получился из матрицы путём вычёркивания элементов первой строки и первого столбца. Такая процедура проделывается до тех пор, пока все элементы первого столбца не превратятся в нулевые элементы.

Определитель, детерминант матрицы

В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём», т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк.

>$». Эта операция не является общепринятой в математике — я её сам только что придумал для красоты повествования.:)