Дифференцирование графиков в экселе. Лаб работы Excel

Задача приближенного вычисления производной мо­жет возникнуть в тех случаях, когда неизвестно анали­тическое выражение для исследуемой функции. Функ­ция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического про­цесса.

Иногда, при решении некоторых задач на компьюте­ре, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т. е. убедить­ся в том, что погрешность численного метода находится в приемлемых границах.

Одним из эффективных методов решения дифференци­альных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица ее значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами.

Пусть известен график функции у = f (х ) на отрезке [а ,b ].Можно построить график производной функции, вспомнив ее геометрический смысл. Воспользуемся тем фактом, что производная функции в точке х равна тан­генсу угла наклона к оси абсцисс касательной к ее графи­ку в этой точке.

у 1 = = tgα = f ¢ (x 0), и точка М 0 (х 0 , у 1) принадлежит графику производной.

Чтобы построить график производной, необходимо разбить отрезок [а , b ]на несколько частей точками х i , затем для каждой точки графически построить значение производной и соединить полученные точки плавной кри­вой с помощью лекал.

На рис. 5.2 показано построение пяти точек М 1, М 2 . , М 5 и графика производной.

1. Строим касательную к графику функции у = f (x )в точке (х 1 , f (x 1));из точки (-1, 0) параллельно касатель­ной в точке (х 1 , f (x 1)) проведем прямую до пересечения с осью ординат; эта точка пересечения дает значение про­изводной f ¢ (х 1).Строим точку М 1 (х 1 , f ¢ (х 1)).

2. Аналогично построим остальные точки М 2 , М 3 , М 4 и М 5 .

3. Соединяем точки М 1 , М 2 , М 3 , М 4 , М 5 плавной кривой.

Точность графического способа определения производ­ной невысока. Мы приводим описание этого способа толь­ко в учебных целях.

Замечание . Если в алгоритме построения графика производ­ной вместо точки (-1, 0) взять точку (-l ,0), где l > 0, то график будет построен в другом масштабе по оси ординат.

5 . 2 .Разностные формулы

а) Разностные формулы для обыкновенных производных

Разностные формулы для приближенного вычисления производной подсказаны самим определением производной. Пусть значения функции в точках x i обозначены через y i :

y i = f (x i ), x i = a+ ih , i = 0, 1, . , n; h =

Мы рассматриваем случай равномерного распределения точек на отрезке [a , b ]. Для приближенного вычисления производных в точках x i можно использовать следующие разностные формулы , или разностные производные .

Так как предел отношения (5.1) при h ® 0 равен пра­вой производной в точке х i , то это отношение иногда на­зывают правой разностной производной в точке x i .По аналогичной причине отношение (5.2) называют левой разностной производной в точке x i .Отношение (5.3) на­зывают центральной разностной производной в точке x i .

Оценим погрешность разностных формул (5.1)–(5.3), предполагая, что функция f (x ) разлагается в ряд Тейло­ра в окрестности точки x i :

Полагая в (5.4) х = x i + h или х = х i — h , получим

Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка .

Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.

Производной функции f (x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε 0 по горизонтальной оси, а вторая с координатой x 0 + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δ x .

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x 0 — Δx и x 0 , т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δ x .

Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x 3 . Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.

Производная функции y=x 3 это y=3x 2 , график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.

Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:

Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:

А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!

Вот наша кривая в координатах «истинное напряжение — истинная деформация» σ-ε:

Действуем так же, как и в предыдущем примере и получаем вот такую кривую:

Это и есть изменение скорости упрочнения по ходу деформации. Что с ней делать, это уже отдельный вопрос.

Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одной переменной в точке х k записанное в конечных разностях, имеет вид

При достаточно малых значениях Δх, можно с приемлемой точностью получить величину производной функции в точке. Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную выше формулу. Рассмотрим технологию вычисления производной на примере .

Пример 1.18 Найти производную функции у = 2х 3 + х 2 в точке х=3. Заметим, что производная приведенной функции в точке х=3, вычисленная аналитическим методом, равна 60 — это значение нам понадобится для проверки результата, полученного путем вычисления численным методом.

Задачу вычисления производной в табличном процессоре можно решать двумя способами.

Введем в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функциональной зависимости например в ячейку В2, как показано на рисунке, делая ссылку на ячейку, где будет находиться значение х, например А2,

Зададим окрестность точки х=3 достаточно малого размера, например значение слева х k =2,9999999, а значение справа х k +1 =3,00000001, и введем эти значения в ячейку А2 и А3 соответственно. В ячейку С2 введем формулу вычисления производной =(В3-В2)/(А3-А2).

В результате вычисления в ячейку С2 будет выведено приближенное значение производной заданной функции в точке х=3, величина которой равна 60, что соответствует результату, полученному аналитически (рис.1.24).

Введем в ячейку рабочего листа А2 заданное значение аргумента, равное 3, в ячейке В2 укажем достаточно малое приращение аргумента — (1E — 9), в ячейку С2 введем формулу для вычисления производной

После нажатия клавиши получим результат вычисления 60,0000.

Как видим, результат получен такой же, как и при первом способе. Приведенный второй способ является более предпочтительным в случаях, когда нужно построить таблицу значений производной функции для заданных значений аргумента.

Напомним, что функция Y=f(x) имеет экстремум при значении х = х k если производная функции в этой точке равна нулю.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти, используя надстройку Excel Поиск решения.

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере

Пример 1.19 Задана неразрывная функция у = х 2 + х + 2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение) на отрезке [-2; 2].

В ячейку A3 рабочего листа введем любое число, принадлежащее заданному отрезку, в этой ячейке будет находиться значение х.

В ячейку В3 введем формулу, определяющую заданную функциональную зависимость. Вместо переменной х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А3: =А3^2+A3+2.

В открывшемся окне диалога Поиск решения в поле Установить целевую ячейку укажем адрес ячейки, содержащей формулу (В3), установим переключатель Минимальному значению, в поле Измени ячейки укажем адрес ячейки, в которой содержится переменная х-A3.

Добавим два ограничения в соответствующее поле: A3 > = — 2 и A3 ) i =(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности.

В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций.

Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями.

Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам.

Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций.

На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр.

На следующем скриншоте представлены исходные данные.

10. Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки:

R =(q *z max +8*F 1 +2*F 2 )/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н

Задача:

Найти значения изгибающего момента M xi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты.

Решение:

Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Q y , изгибающих моментов M x , углов поворота U x оси балки и прогибов V x по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h . (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся.)

Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям.

Использованные в расчетах формулы можно посмотреть .

Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов.

Угол поворота – это первая производная прогиба U =V’ .

Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования.

Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54.

Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат.

Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки!

Однако.

Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок!

Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью ~1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h , «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок.

Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок.

Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях.

Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i =4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении (ε 21 =1,813%).

Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения.

Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно!

Уважаемые читатели, отзывы и комментарии к статье, размещайте в специальном блоке ниже статьи.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге, подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл с примером ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

[expert_bq id=»1570″]y — 1 15 x 3 18 x 2 105 x 176 , x — ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 9 x 12 , x — 2 ; y — 1 5 x 2 12 x 35 , x — ; — 2 1 5 x 2 — 4 x 3 , x — 2 ;. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] y ‘ = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = — 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = — 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x — 2 ) + 5 3 2 + 5

Урок по теме: уравнение касательной к графику функции

Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка .

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 < α < π 2 или 0 ° < α 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 < α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) — f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у — k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x < 0 .

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = — 1 , f ( x 0 ) = — 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением — 1 . Получаем, что

y ‘ = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ — 6 — 3 3 x ‘ — 17 — 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 — 6 — 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( — 1 ) = e — 1 + 1 + — 1 2 — 6 — 3 3 = 3 3

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) — 3 y = 3 3 x — 9 — 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x — 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

y ‘ = 3 · x — 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x — 1 ) 1 5 — 1 = 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 — 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( — 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 — 4 5 x 2 — 16 5 x — 26 5 + 3 x + 2 , где

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ — ∞ ; 2 и [ — 2 ; + ∞ ) . Получаем, что

y = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )

y ‘ = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ — 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ — ∞ ; — 2 1 5 x 2 — 4 x + 3 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )

Когда х = — 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → — 2 — 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 — 0 — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = — 1 5 ( — 2 ) 2 + 12 ( — 2 ) + 35 = — 3 lim x → — 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 + 0 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 1 5 — 2 2 — 4 — 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = — 2 , где получаем, что

1. y ( — 2 ) = 1 15 — 2 + 2 3 — 4 5 ( — 2 ) 2 — 16 5 ( — 2 ) — 26 5 + 3 — 2 + 2 = — 2 , то есть касательная в точке ( — 2 ; — 2 ) не будет существовать.
2. Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .

Когда x ∈ — ∞ ; — 2 , тогда — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 .

— 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 — 4 · 35 = 144 — 140 = 4 x 1 = — 12 + 4 2 = — 5 ∈ — ∞ ; — 2 x 2 = — 12 — 4 2 = — 7 ∈ — ∞ ; — 2 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 — 4 · 3 = 4 x 3 = 4 — 4 2 = 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ — 2 ; + ∞

y 1 = y — 5 = 1 15 — 5 + 2 3 — 4 5 — 5 2 — 16 5 — 5 — 26 5 + 3 — 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( — 7 ) = 1 15 — 7 + 2 3 — 4 5 ( — 7 ) 2 — 16 5 — 7 — 26 5 + 3 — 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 — 4 5 · 1 2 — 16 5 · 1 — 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 — 4 5 · 3 2 — 16 5 · 3 — 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда — 5 ; 8 5 , — 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ — ∞ ; — 2 , получаем, что — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

— 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 — 4 · 43 = — 28 < 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 — 4 x — 5 = 0 D = 4 2 — 4 · ( — 5 ) = 36 x 1 = 4 — 36 2 = — 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ — 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y ( — 1 ) = 1 15 — 1 + 2 3 — 4 5 ( — 1 ) 2 — 16 5 ( — 1 ) — 26 5 + 3 — 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 — 4 5 · 5 2 — 16 5 · 5 — 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x — π 4 — 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = — 2 x + 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 ‘ = 3 · — sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 x 0 — π 4 ‘ = = — 3 · sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 = — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 — π 4 = — 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 — π 4 = a r c sin — 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π — a r c sin — 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 — π 4 = — a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

y 0 = 3 · 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3

y 0 = 3 · 1 — — 1 9 2 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — — 1 9 2 — 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 — 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; — 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x — 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 — 1 3 , y = 1 2 x — 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk — 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ — 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = — 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Написать уравнение касательной к эллипсу x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x — 3 2 4 x = 2 + y — 5 2 25 = 1 1 4 + y — 5 2 25 = 1 ⇒ y — 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; — 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 y — 5 2 25 = 1 — x — 3 2 4 ( y — 5 ) 2 = 25 · 1 — x — 3 2 4 y — 5 = ± 5 · 1 — x — 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 — x — 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 , а нижний y = 5 — 5 2 4 — x — 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y ‘ = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = — 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = — 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x — 2 ) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; — 5 3 2 + 5 принимает вид

y ‘ = 5 — 5 2 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = — 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = — 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = — 5 2 3 ( x — 2 ) — 5 3 2 + 5

Касательная к гиперболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Составить уравнение касательной к гиперболе x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; — 3 3 — 3 .

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x — 3 2 — 4 и л и y + 3 = — 3 2 · x — 3 2 — 4 ⇒ y = 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3 y = — 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; — 3 3 — 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = — 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = — 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

y ‘ = — 3 2 · ( x — 3 ) 2 — 4 — 3 ‘ = — 3 2 · x — 3 ( x — 3 ) 2 — 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = — 3 2 · x 0 — 3 x 0 — 3 2 — 4 x 0 = 7 = — 3 2 · 7 — 3 7 — 3 2 — 4 = — 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c — x = 0 D = b 2 — 4 a ( c — x ) y = — b + b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a y = — b — b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Написать уравнение касательной к графику x — 2 y 2 — 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

— 2 y 2 — 5 y + 3 — x = 0 D = ( — 5 ) 2 — 4 · ( — 2 ) · ( 3 — x ) = 49 — 8 x y = 5 + 49 — 8 x — 4 y = 5 — 49 — 8 x — 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

y ‘ = 5 + 49 — 8 x — 4 ‘ = 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

y ‘ = 5 — 49 — 8 x — 4 ‘ = — 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = — 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 — 49 — 8 · 23 4 — 4 = — 5 + 3 4

[expert_bq id=»1570″]Решение таких задач основывается на том, что координаты точки А n;m должны удовлетворять искомому уравнению касательной решая уравнение m f a f a m-a найдем а и, таким образом, приходим к задаче первого типа; находим точки пересечения двух графиков, решая уравнения f x g x и у g х или у f x ; находим корень данной системы уравнений. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$.

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 < α < π 2 или 0 ° < α 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 < α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

2 способ.
Прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(x) в том и только том случае, если существует такое значение а, при котором совпадают значения данных функций и значения их производных, т. е. Совместна система
f(a)=ka+b,
f’(a)=k.