Архимедова спираль
Резьб (также известный как арифметическая спираль ) представляет собой спираль , названной в честь третьего века до нашей эры греческого математика Архимеда . Это геометрическое место, соответствующее местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно в полярных координатах ( r , θ ) его можно описать уравнением
с действительными числами a и b . Изменение параметра a перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительное значение a в направлении θ = 0 и отрицательное значение a в сторону θ = π ), в то время как b контролирует расстояние между петлями.
Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от точки старта пропорционально углу θ с течением времени.
Архимед описал такую спираль в своей книге « О спиралях» . Конон Самосский был его другом, и Папп утверждает, что эту спираль открыл Конон. [1]
СОДЕРЖАНИЕ
Вывод общего уравнения спирали [ править ]
Ниже используется физический подход для понимания понятия спиралей Архимеда.
Предположим, что точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью v, направленной параллельно оси x относительно плоскости xy . Пусть в момент времени t = 0 объект находился в произвольной точке ( c , 0, 0) . Если плоскость xy вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z , то скорость точки относительно оси z может быть записана как:
В ху плоскость поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) вокруг начала координат в времени т . ( c , 0) — положение объекта при t = 0 . P — это положение объекта в момент времени t на расстоянии R = vt + c .
Здесь vt + c — модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , v x — составляющая скорости вдоль оси x, а v y — составляющая вдоль оси y . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.
Вышеупомянутые уравнения можно интегрировать, применяя интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:
Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению
(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctg y / Икс ) или же
Длина дуги, кривизна [ править ]
Характеристики [ править ]
Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2 πb, если θ измеряется в радианах ), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическую прогрессию .
Оскулирующие круги спирали Архимеда. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, где окружности особенно близки друг к другу.
Для больших θ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).
Общая архимедова спираль [ править ]
Иногда термин спираль Архимеда используется для более общей группы спиралей.
Приложения [ править ]
В одном из методов квадрата круга , предложенном Архимедом, используется архимедова спираль. Архимед также показал, как спиралью можно разрезать угол пополам . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]
[expert_bq id=»1570″]С использованием инструментов Основание по траектории и Геликоид и спираль , в SolidWorks можно создавать на первый взгляд сложные, но на практике простые и разнообразные вещи. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq]
Всеобъемлющий видеокурс направленный на максимально полное освоение и профессиональное применение инструментов и приемов конструирования в программном комплексе SOLIDWORKS. Обучение на примере создания цифровых прототипов сложных изделий и сборок, разбор…
Спираль в SOLIDWORKS | Спираль Архимеда © Студия Vertex
Спираль Архимеда и закон октав Искусство – и я имею в виду подлинное, доброе искусство – зиждется, помимо всего прочего, на принципах баланса, динамики, местоположения и композиции. Эти элементы должны находиться в гармонии, взаимодействовать друг с другом, чтобы
Спираль в SOLIDWORKS
Рассмотрим как можно сделать спираль в SolidWorks и какие операции можно проводить используя инструмент Геликод и спираль.
Видеокурс по этой теме
Видеокурс «Моделирование в SOLIDWORKS. Полное руководство»
Всеобъемлющий видеокурс направленный на максимально полное освоение и профессиональное применение инструментов и приемов конструирования в программном комплексе SOLIDWORKS. Обучение на примере создания цифровых прототипов сложных изделий и сборок, разбор…
Спираль по траектории
Запустим SolidWorks и создадим новый документ Деталь.
Построим эскиз на плоскости Спереди.
Чертим окружность с диаметром 5 мм и расстоянием от центра координат 50 мм.
Выходим из эскиза и создаем еще один эскиз на этой же плоскости.
От центра координат, чертим вертикальную линию с высотой в 100 мм. Нажимаем ОК и выходим из эскиза.
Итого имеем два эскиза на плоскости Спереди. Во вкладке Элементы нажимаем на Бобышка/основание по траектории. Построим спираль по траектории.
На панели параметров для синей области указываем Эскиз 1 который будет являться сечением для спирали, а для красной области выбираем Эскиз 2, который будет как центр вращением траектории спирали.
Далее открываем вкладку Параметры>Указать величину скручивания и в Контроль скручивания выбираем Вращения (указываем значение 10). То есть задавая эти параметры, мы неким образом накладываем массив по спирали. При этом можем видеть как предварительно будет выглядеть спираль. Нажимаем ОК.
Спираль по траектории готова. Таким образом мы построили пружину.
Построение логарифмической спирали
Рассмотрим как можно построить так называемую спираль Архимеда в SolidWorks.
Откроем новый документ и создадим Эскиз на плоскости Спереди.
Переходим во вкладку Элементы > Кривые > Геликоид и спираль.
Кликаем на построенную окружность и в панели параметров указываем нужные параметры для построения логарифмической спирали (Шаг, количество оборотов, угол, направление по стрелке). Нажимаем ОК.
Спираль Архимеда готова! Если указать для нее сечение, как в предыдущем блоке и построить эскиз, можно создать так же основание по траектории и получим твердотельную спираль.
С использованием инструментов Основание по траектории и Геликоид и спираль, в SolidWorks можно создавать на первый взгляд сложные, но на практике простые и разнообразные вещи.
[expert_bq id=»1570″]Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием равным 2 πb, если θ измеряется в радианах , отсюда и название арифметическая спираль. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Здесь vt + c — модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , v x — составляющая скорости вдоль оси x, а v y — составляющая вдоль оси y . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.Архимедова спираль
Глава 11. Конец спирали, ведущей вниз Следующие семь лет моя карьера и семейная жизнь продолжали испытывать кризис. Долгое время окружающие меня люди — даже самые близкие — не могли понять, каковы мои проблемы. Но постепенно, наблюдая за мной, Холли и сестры догадались, в
