Лабораторная работа № 3
Прогнозирование временных рядов на основе уравнений регрессии.
Цель работы : Освоить технологию построения регрессионных моделей для
3.1. Теоретическая часть. Временной ряд (ВР) y ( t ) можно интерпретировать в виде суммы двух компонент – детерминированной составляющей f ( t ) и случайного отклонения e ( t ) /5,16/.
t – порядковый номер элемента ВР, t =1,2, 3 . .
В основе моделирования и прогнозирования ВР лежат операции идентификации (определения) функций f ( t ) и e ( t ) .
Функция f ( t ) должна иметь такой вид, чтобы сумма квадратов отклонений e ( t ) была минимальной, т.е.
При построении детерминированной и случайной составляющих модели ВР сначала определяют общий вид функций f ( t ) и e ( t ) , а затем – их коэффициенты.
Для определения вида f ( t ) (иногда ее называют трендом) чаще всего используют следующие функции:
где выражение (3.3) представляет собой полином первой степени (линейная зависимость), (3.4) — полином второй степени (параболическая зависимость), а (3.5) — гиперболическая зависимость.
Вид тренда можно выбрать визуально по графическому отображению y ( t ).
Прогнозирование случайной компоненты e ( t ) производится методом авторегрессии. Процессом авторегрессии называется процесс, значения которого в последующие моменты времени зависят от его же значений в предшествующие моменты времени:
где b 1 – bn — коэффициенты уравнения авторегрессии;
n – порядок авторегрессии, выражение (3.7) описывает уравнение авторегрессии первого порядка, а (3.8) – второго порядка;
u ( t ) – ошибка авторегрессии.
Расчет коэффициентов b 1 – bn также производится методом наименьших квадратов. Число переменных, входящих в модель авторегрессии, называют порядком авторегрессии. Выбор порядка авторегрессии является одним из этапов построения модели авторегрессии и представлен в соответствующей литературе /5,16/. В настоящей работе задается порядок авторегрессии n =1.
Построение прогнозирующей модели временного ряда рекомендуется проводить в три этапа:
— определение полного прогноза ВР на основе результатов двух предыдущих этапов.
3.2.1. Построение детерминированной части прогнозирующей модели ВР
А) Ввести исходные данные ВР (не менее 20 чисел) в столбец A первого листа программы Excel , как показано на рисунке 1.
В). Для вычисления коэффициентов модели и дополнительных результатов статистики в правой части экрана с помощью левой кнопки мыши выделить область пустых ячеек размером 5 ´ 3 (5 строк и 3 столбца, количество столбцов должно соответствовать количеству оцениваемых коэффициентов). Для получения только оценок коэффициентов регрессии выделить область размером 1 ´ 3;
Г). Активизировать режим вычисления коэффициентов уравнения регрессии в следующем порядке: “Вставка – Функция – Статистические — Линейн.- Ок”;
Д). В появившемся окне ввести следующие исходные данные:
— Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные об объекте (выделить мышью столбец данных ВР);
— Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные времени и квадрата времени (выделить столбцы B и C );
— Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении 3.6 (если вставить “1”, то свободный член a 0 рассчитывается, если -“0”, то свободный член равен 0;
— Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет.
Для введенных исходных данных: а0= 4.2828, а1= -0.032, а2= 0.0023.
Искомое уравнение регрессии детерминированной части модели выглядит следующим образом:
З). Рассчитать прогнозные оценки ВР на моменты времени t =21; t =22; t =23. Построить график модельных данных для t =1,2,3. 23. (рисунок 1 “ б ” ).
3.2.2. Построение стохастической части модели ВР (этап 2).
А). Для каждого наблюдения ряда в столбце E рассчитать отклонения e ( t ) , как разность между соответствующими данными столбцов A и D так, как показано на рисунке 2”а”
Б). Для определения коэффициента b 1 уравнения (3.9) расположим в расчетной таблице данные случайной компоненты так, как показано в столбце F на рисунке 2“а”.
Рис.3.1 – Расчетные данные (“а”) и графики детерминированной части (“б”) прогнозирующей модели ВР
В). Определим коэффициент b 1 модели авторегрессии, для этого повторить пункты В-Г раздела 3.2.1. с учетом того, что в данном случае определяются коэффициенты уравнения первого порядка. В окно исходных данных вставить следующие значения:
— Известные_значения_у – выделить мышью диапазон ячеек E 3- E 21;
— Известные_значения_х – выделить мышью диапазон ячеек F 3- F 21.
В ячейке I 9 представлено расчетное значение коэффициента b 1= 0.6257.
В результате расчетов методом наименьших квадратов уравнение авторегрессии первого порядка имеет вид:
Уравнение (3.10) построено без свободного члена b 0 .
Г). В столбце G расчетной таблицы (рис.2 “а”) по выражению (3.10) рассчитать модельные значения случайной компоненты для t =2,3,4. 21.
Д). Используя выражение (3.10), в ячейках G 23- G 25 рассчитать прогнозные значения случайной компоненты для t =22,23,24. При вычислении e (22) в ячейке G 23 использовать значение e (21) из ячейки G 22, при вычислении e (23) в ячейке G 24 использовать значение e (22) из ячейки G 24 и так далее.
Как видно из рисунка, график Y пр2 более близок к графику Y , что свидетельствует о повышении точности прогнозных оценок при учете случайной компоненты. Дать анализ графиков, полученных в результате выполнения заданного варианта.
1. Привести примеры экономических и технических задач, где нужны прогнозные оценки.
3. Как выбираются модели детерминированной и стохастической составляющей прогноза?
[expert_bq id=»1570″]Если автокорреляция оказывается выше ниже чем это верхнее нижнее граничное значение, нуль-гипотеза, что якобы нет никакой автокорреляции для данной временной задержки и вне ее, такая гипотеза должна быть отклонена на уровне значимости. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Далее будет открыто новое окно, в котором можно задать параметры линии тренда. Ищем в окне настройки прогноза, и задаем число 1 (период), так как пять единиц значений = одному периоду, это было сделано так как значение за пределами 50 возьмем вновь 55.
Построение модели временного ряда — МегаЛекции
В отличие от интерполяции, задачей которой является нахождения значения функции между двумя известными аргументами, экстраполяция подразумевает поиск решения за пределами известной области. Именно поэтому данный метод столь востребован для прогнозирования.
