Комплексные числа
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .
Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .
Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде
где использован символ i , называемый мнимой единицей .
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
Комплексно сопряженные числа
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
[expert_bq id=»1570″]Ввести формулу, в которой каждым множителем будет адрес ячейки причем они могут располагаться в любых местах, даже на разных листах или в отдельных книгах. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Использовать автосумму лучше тогда, когда диапазон суммирования является неразрывным, и ячейка для суммирования находится снизу или справа от диапазона суммирования. Иначе придется вручную поправлять диапазон, что не есть большая проблема.Умножение в Эксель: 7 способов, формулы |
Выше были приведены примеры арифметических последовательностей. Некоторые другие виды последовательностей можно также сформировать формулами. Например, последовательность n2+1 ((n в степени 2) +1) создадим формулой =(СТРОКА()-СТРОКА($A200))^2+1 начиная с ячейки А2 .