3.3. Ценовой риск. Дюрация облигации.

Рыночная цена облигации отличается от номинальной цены в зависимости от изменения доходности. Чем выше доходность, тем ниже цена облигации. Инвестиции даже в государственные облигации подвержены риску изменения процентной ставки.

Рис. 3.6. На графике показана зависимость цены облигации от ее доходности 2 .

Как видно из графика для одной и той же величины изменения доходности изменение

цены имеет разное значение. Наклоны к касательных уменьшаются с ростом доходности. Величина

(3.16)

называется ценовым риском. Цена в пунктах 3 . Ценовой риск измеряется на 1% изменения доходности и отражает изменение цены облигации по отношению к номиналу. При малых изменениях доходности ценовой риск равен

(3.17)

Изменение цены облигации при малых изменениях доходности можно найти, если взять первую производную от функции зависимости цены облигации. Зависимость цены облигации от доходности y в общем виде можно записать, как приведенную стоимость дисконтированного потока наличности от облигации

. (3.18)

(3.19)

Разделим обе части в выражении (3.19) на величину цены Р. Тогда получим

; (3.20)

где ,- величинаt — го платежа в стоимости облигации. До даты погашения — это купонные выплаты, последняя выплата  это номинал плюс купон. Таким образом, из выражения (3.20) для ценового риска облигации получим

(3.21)

(3.22)

Величина D называется дюрацией или продолжительностью облигацией. Термин продолжительность – это перевод слова duration. В русскоязычной литературе используются как термин дюрация, так и продолжительность. Дюрация рассчитывается по формулам

, ,, (3.23)

где — доля приведенной стоимостиt — го платежа в стоимости облигации, деленной на цену облигации P. Дюрация измеряется в годах и отражает изменение цен по отношению к «сегодняшней» цене P = PV или приведенной стоимости инвестиции.

Чувствительность цены облигации к изменению процентной ставки у различных активов разная.

Краткосрочные активы имеют дюрацию близкую к нулю. Среднесрочные более чувствительны к изменению ставки процента. Долгосрочные активы имеющие высокую дюрацию и более чувствительны к изменению доходности. Чувствительность цены облигации к изменению процентной ставки у различных активов разная.

Существует несколько определений «экономического» смысла дюрации.

Дюрация является средним моментом, характеризующим структуру потока платежа.

Дюрация — средневзвешенный срок поступления платежей в поток наличности

Пример 9. Пусть имеется две облигации. Бескупонная номиналом $1000 и сроком до погашения 3 года. Купонная облигация номиналом $1000 и сроком погашения 4 года, купоном 10%. Доходность к погашению составляет 10%. Найти дюрацию облигаций.

Решение. Платежи по облигациям распределены по времени и величине, как показано ниже.

Рис. 3.7. Структура потока платежей по бескупонной (а) и купонной (б) облигациям.

По формуле (3.23) найдем дюрацию бекупонной облигации.

Стоимость облигации равна ;.доля;дюрация равна .Дюрация бескупонной облигации равна сроку до погашения, т.е. 3 года.

Ниже приведен расчет дюрации по формулам (3.23) в Excel.

доля в общей сумме

[expert_bq id=»1570″]Но на этот раз, возможно, вы подумаете, что вообще не стоит давать деньги друзьям, так как может случиться, что сейчас на 100 000 рублей вы со всей семьей поедете в отпуск, а через 10 лет на эти деньги, разве что купите продукты на вечер. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Первое слагаемое теперь является дюрацией D, а второе – выпуклостью V, умноженной на константу. С учетом вышеизложенного, более эффективную формулу для определения будущей цены облигации в зависимости от изменений доходности можно задать в следующем виде:

Как Посчитать Дюрацию Облигации Формула в Excel

Рыночная цена облигации отличается от номинальной цены в зависимости от изменения доходности. Чем выше доходность, тем ниже цена облигации. Инвестиции даже в государственные облигации подвержены риску изменения процентной ставки.

Дюрация

Дюрация рассчитывается по формуле средневзвешенной следующим образом:

— i-ый платеж

— ставка дисконтирования, доходность альтернативного вложения за единицу времени (год, квартал и т.д.).

— Дисконтированная стоимость i-го платежа;

— момент времени i-го платежа;

— количество платежей.

Предполагается, что рынок эффективно определяет необходимую ставку дисконтирования и отражает требуемую доходность инструментов с аналогичным уровнем рисков.

Если рассматривать дисконтированную стоимость денежного потока как функцию процентной ставки, то можно показать, что дюрация денежного потока равна взятой с обратным знаком эластичности (логарифмической производной) дисконтированной стоимости денежного потока по процентной ставке (точнее по 1+r), то есть:

При малых изменениях ставок дифференциалы можно заменить просто изменениями:

Таким образом дюрация позволяет упрощенно оценить степень зависимости рыночной цены инструмента от изменения процентной ставки. Чем больше дюрация инструмента, тем значительнее изменения ее рыночной стоимости при изменении процентных ставок, то есть тем выше процентный риск.

Если в приведенном выше приближенном равенстве использовать так называемую модифицированную дюрацию, равную

оценка чувствительности к изменению процентной ставки упрощается:

Другой вариант более точной оценки основан на том, что качественная неточность связана не только (и не столько) с линеаризацией, но и с заменой изменений логарифмов на обычные темпы прироста. Если использовать сами логарифмы, то оценки качественно будут более адекватны истинной зависимости (хотя количественная неточность будет также иметь место):

Из этого соотношения выводится следующая более истинная примерная зависимость изменения текущей стоимости:

В этой зависимости асимметричность естественно учтена (такой способ расчета более точный, но несколько менее удобен из-за нелинейности зависимости).

Учитывая последнее вышеприведенное приближенное равенство можно дать дюрации еще одну интерпретацию. Рассмотрим как примерно изменится текущая стоимость потока, если ставка процента уменьшится до нуля ():

Можно показать, что дюрация аннуитета огранченного сроком T равна следующей величине:

Модифицированную дюрацию можно получить разделением на .

Модифицированная дюрация, очевидно равна в этом случае .

Для бескупонной облигации номиналом со сроком погашения текущая стоиомсть равна

Она же совпадает с дисконтированной стоимостью единственного платежа, поэтому ее дюрация просто равна сроку облигации:

где — цена облигации (предполагается что в качестве r используется доходность к погашению облигации, поэтому ).

При прочих равных условиях, чем чем больше срок погашения и (или) купонная ставка и (или) доходность к погашению, тем больше дюрация облигации. При прочих равных условиях чем чаще выплачивается купон, тем меньше дюрация.

В простейшем случае постоянной купонной ставки и единовременного гашения номинала в конце срока для расчета дюрации можно использовать встроенную в Microsoft Office Excel 2007 функцию ДЛИТ.

[expert_bq id=»1570″]В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов например, облигации с нулевым купоном. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Показатель дюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из (2.8), отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.

Дюрация Облигации (что это) и Как она помогает инвестору | Stolf

Пример. Иван задумал поставить автоматы с мороженым возле автобусных остановок зимой (изобретение Антона). Он ожидает, что данный проект принесёт 5000 руб. в четвёртый и пятый годы. Ставка дисконтирования — 20%.