Три способа умножения матриц в Excel — fastai part-2, lesson-8

Часть-2 изФастай «Из фондов»наконец-то вышел. Я не помню, когда в последний раз я был так взволнован по поводу MOOC. Как только курс был обнародован, я начал копаться в нем, чтобы углубить свое понимание глубокого обучения и основополагающих концепций.

На этот раз я решил последовать совету Джереми и Рэйчел и написать блоги. Эта конкретная статья объясняетразличные методы умножения матриц,что Джереми реализует в Уроке-8. Я буду использоватьМайкрософт Эксельдля иллюстрации.

Умножение матриц

Отличное и интерактивное место для понимания умножения матриц, на которое ссылается Джереми, доступно по адресу:

По сути, как видно из изображения, мы берем транспонирование второй матрицы, умножаем и складываем элементы вместе, чтобы получить результат. Как пример, самый первый пункт 15 в результирующей матрице происходит от 1*2 + 6*2 + 1*1 = 2 + 12 + 1 = 15 ,

Хотя это объяснение визуально приятно, по моему скромному мнению, его трудно преобразовать в код. Так что давайте использовать Excel и понимать матричное умножение по-другому!

Умножение матриц в EXCEL

Рассмотрим две матрицы а такжеВразмера 4×3 а также 3×4 ,
Примечание: я буду использовать жирный шрифт а такжеВсослаться на матрицы в этой статье. Обычная практика — ссылаться на векторы и матрицы, используя жирный шрифт.

Из изображения, которое мы видели раньше, если вы помните, мы взяли транспонированиеВи умноженные строки с колоннамиВчтобы получить результирующую матрицу. Скорее, давайте пропустим этот шаг, сделав транспонирование на этот раз, и сразу умножим строки и столбцы.

Поэтому строка 0 из умножается на столбец 0Впоэлементные и результирующие поэлементные продукты добавляются для получения первого элемента в результирующей матрицеСв положении [0][0] ,

Точно так же мы получаем C[0][3] поэлементно умножая строку 0 из и кол 3 изB.В Excel это выглядит так:

И, наконец, мы следуем тому же процессу, чтобы пройти каждый пустой ящик вСчтобы получить окончательный результат.

Вот и мы! Вот так мы делаем матричное умножение! Это было легко, не так ли? Мы теперь не только поняли умножение матриц, но и внедрили его в Excel! Как это круто?

Я лично считаю, что теперь вы готовы работать с некоторыми правилами, связанными с умножением матрицMatMul):

1. Позволять ar,ac быть количеством строк и столбцов вA.Точно так же, пусть br, bc быть количеством строк и столбцов вB.Тогда для выполнения умножения матриц необходимо, чтобы ac == br , Зачем? Итак, как вы видели в Excel, мы умножили строки и столбцы поэлементно, а затем добавили промежуточные продукты, чтобы получить конечный результат. Если есть несоответствие в размерах, и один вектор длиннее другого, мы больше не можем выполнять поэлементное умножение!
2. Размеры результирующей матрицы всегда будут ar,bc , То есть количество строк исходит от и количество столбцов исходит отB.

Способ 1: использование 3-х циклов FOR

Вот еще один отказ от ответственности, при реализации умножения матриц в Excel, мы не только поняли это, но и повторили первый метод Джереми, который использовал 3 цикла FOR. Вот как это выглядит в коде:

Надеюсь, теперь вы сможете лучше понять это. Если нет, то сейчас самое время сделать паузу, поэкспериментировать с кодом и посмотреть, что на самом деле происходит. Я обещаю вам, это так же, как наша версия Excel!

Хорошо, я предполагаю, что вы потратили некоторое время на размышления о коде, поэтому давайте обсудим это!

• Почему первые две петли в range(ar) а также range(bc) ? Ну, как вы помните изПравило-2наша результирующая матрица будет иметь размеры ar,bc , И из Excel мы увидели, что мы пересекаем каждый элементСследовательно, один за другим, чтобы пройти ar строки и bc столбцы нам нужно 2 цикла в range(ar) а также range(bc) ,
• Итак, почему третий цикл FOR в range(ac) #or br ? Ну изПравило-1, мы знаем это ac==br так что на самом деле не имеет значения, ставим ли мы range(ac) или range(br) в третьем цикле. По сути, именно здесь отдельные элементы умножаются вместе и добавляются. Из нашего предыдущего примера Excel, для C[0][0] это где шаг C[0][0] = 1*1 + 10*5 + 100*9 = 1 + 50 + 900 = 951 произойдет, и, наконец, мы перейдем к следующей коробке. Количество предметов, которые умножаются и складываются вместе, равно ac or br ,

Это действительно так! Это метод-1 для вас! Вот песня, чтобы помнить Матричное Умножение. (Я узнал об этом первым из fast.ai, оригинальный автор неизвестен)

Надеюсь, теперь вы понимаете, как две матрицы умножаются друг на друга. Если не,Вотэто еще один учебник Хан Академии

Метод 2: Использование поэлементного умножения

До сих пор мы находили отдельные продукты 10, 20, 30 и сложить их вместе 10 + 20 + 30 = 60 , Но, действительно, все это можно заменить на:

Если вы помните, самый внутренний цикл в range(ac) #or br находил отдельные продукты и добавлял их. Ну, мы можем заменить этот цикл, чтобы выполнить векторное поэлементное произведение и положить .sum() в конце концов, и PyTorch / NumPy имеют возможность выполнять поэлементные операции для нас!

Точно так же мы получаем C[0][3] путем умножения вектора в строке 0 с вектором на цв 3Ви суммируя полученный вектор.

И, наконец, мы следуем тому же процессу, чтобы пройти каждый пустой ящик вСчтобы получить окончательный результат.

Обратите внимание, как это отличается отМетод-1? На этот раз мы просто говорим Excel или PyTorch: умножьте строку 0 с col 0 изВи суммируем полученный вектор, чтобы дать нам ответ. Вместо того чтобы делать 1*1 + 10*5 + 100*9 , Например, для C[0][0] этот метод умножает Vector на строку 0 tensor([1,10,100]) с вектором в столбце 0 изВ tensor<[1,5,9]) чтобы получить промежуточный продукт Вектор tensor([1,50,900]) и суммирует это, чтобы дать результат в положении C[0][0] как tensor(951) ,

Таким образом, мы просто анализируем каждую позициюC,используя две петли FOR и введите соответствующий результат в этой позиции. Если i,j представляют строки и столбцы вСэто выглядит примерно так .

И так далее .. пока мы не получим полную матрицуС,

Метод 3: вещание

Заметили общую тему здесь? Каждый раз мы должны умножить каждый ряд с каждым столбцомВполучитьС, Вы замечаете повторение? Мы умножаем один и тот же вектор строки в bc раз! И мы повторяем этот процесс ar раз!

Есть ли способ умножить вектор строки со всеми столбцамиВполучить соответствующий ряд вC?Да, есть! Войдите в трансляцию .
Примечание: я не буду объяснять вещание, Джереми делает это очень хорошоВот,

Вместо этого давайте посмотрим, что это за волшебный кусок кода

Как обычно, давайте повторим в Excel! Это сделает вещи действительно легкими. Давайте сделаем это поэтапно.

Шаг 1)Выберите i-й ряд a[i,:] , Мы выбираем строку 0 в качестве примера.

Шаг 2)Возьмите егоТранспонирование a[i,:].unsqueeze(-1)

Шаг 3)Развернуть матрицу столбца какВ a[i,:].unsqueeze(-1).expand_as(b)

Шаг-4)Элемент мудрый умножить наВ a[i,:].unsqueeze(-1).expand_as(b)*b

Шаг-5)Суммируйте по строкам, чтобы получить строку 0 C

Полный процесс вещания для каждого ряда выглядит примерно так:

Я надеюсь, что теперь вы получитевещания! Итак, давайте посмотрим, как это выглядит в коде ..

Это именно то, как мы ожидаем, что это будет так же, как нашиВерсия Excel!

Вот и все! Мы успешно рассмотрели три метода умножения матриц, включая вещание.

[expert_bq id=»1570″]При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять из нескольких рядов числовых данных, для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Интерпретация результатов. Рассматривается отдельно каждый коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Его числовое значение оценивается по эмпирическим правилам, изложенным в соответствующей лекции.

Матрица межфакторных корреляций в excel — IT Новости из мира ПК

1. Позволять ar,ac быть количеством строк и столбцов вA.Точно так же, пусть br, bc быть количеством строк и столбцов вB.Тогда для выполнения умножения матриц необходимо, чтобы ac == br , Зачем? Итак, как вы видели в Excel, мы умножили строки и столбцы поэлементно, а затем добавили промежуточные продукты, чтобы получить конечный результат. Если есть несоответствие в размерах, и один вектор длиннее другого, мы больше не можем выполнять поэлементное умножение!
2. Размеры результирующей матрицы всегда будут ar,bc , То есть количество строк исходит от и количество столбцов исходит отB.

Есть ли способ умножить вектор строки со всеми столбцамиВполучить соответствующий ряд вC?Да, есть! Войдите в трансляцию .
Примечание: я не буду объяснять вещание, Джереми делает это очень хорошоВот,

Как сделать проверку обратной матрицы в excel?

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля.

СОВЕТ: О нахождении определителя матрицы читайте статью Вычисление определителя матрицы в MS EXCEL

Матрица А -1 называется обратной для исходной матрицы А порядка n, если справедливы равенства А -1 *А=Е и А*А -1 =Е, где Е единичная матрица порядка n.

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция МОБР() .

Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне А8:В9, то для получения транспонированной матрицы нужно (см. файл примера ):

• выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазономА8:В9, например, Е8:F9
• в Cтроке формул ввести формулу = МОБР (A8:B9) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2)

Если матрица большей размерности, то перед вводом формулы нужно выделить соответственно больший диапазон ячеек.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон.

Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.

Если функция МОБР() вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция МОБР() пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает СУММ() ), а как ошибочное значение.

Вычисление обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений

СОВЕТ: Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОБР() .

В файле примера приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.

• Вычисляем определитель матрицы А (далее – Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима)
• Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
• Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений
• Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу

В качестве проверки можно перемножить исходную и обратную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Приложение Excel выполняет целый ряд вычислений, связанных с матричными данными. Программа обрабатывает их, как диапазон ячеек, применяя к ним формулы массива. Одно из таких действий – это нахождение обратной матрицы. Давайте выясним, что представляет собой алгоритм данной процедуры.

Выполнение расчетов

Вычисление обратной матрицы в Excel возможно только в том случае, если первичная матрица является квадратной, то есть количество строк и столбцов в ней совпадает. Кроме того, её определитель не должен быть равен нулю. Для вычисления применяется функция массива МОБР. Давайте на простейшем примере рассмотрим подобное вычисление.

Расчет определителя

Прежде всего, вычислим определитель, чтобы понять, имеет первичный диапазон обратную матрицу или нет. Это значение рассчитывается при помощи функции МОПРЕД.

Запускается Мастер функций. В перечне записей, который он представляет, ищем «МОПРЕД», выделяем этот элемент и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов. Ставим курсор в поле «Массив». Выделяем весь диапазон ячеек, в котором расположена матрица. После того, как его адрес появился в поле, жмем на кнопку «OK».

Расчет обратной матрицы

Теперь можно преступить к непосредственному расчету обратной матрицы.

В открывшемся списке выбираем функцию МОБР. Жмем на кнопку «OK».

Как видим, после этих действий обратная матрица вычислена в выделенных ячейках.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Подробно рассмотрим особенности вычисления обратной матрицы в Excel и примеры использования функции МОБР.

В первую очередь освежим в памяти, что обратная матрица — это матрица (записывается как A -1 ), при умножении которой на исходную матрицу (A) дает единичную матрицу (E), другими словами выполняется формула:

Из определения следует важное свойство, что обратная матрица определена только для квадратных (т.е. число строк и столбцов совпадает) и невырожденных матриц (т.е. определитель отличен от нуля).

Как найти обратную матрицу в Excel?

Функция МОБР

МОБР(массив)
Возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).

Рассмотрим расчет обратной матрицы посредством функции МОБР на конкретном примере.
Предположим у нас имеется следующая квадратная матрица 3-го порядка:

Выделяем диапазон пустых ячеек E2:G4, куда мы в дальнейшем поместим обратную матрицу.
Не снимая выделения ячеек вводим формулу =МОБР(A2:C4) и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Ввод для расчета формулы массива по данному диапазону:

При работе с функцией МОБР могут возникнуть следующие ошибки:

[expert_bq id=»1570″]Как только курс был обнародован, я начал копаться в нем, чтобы углубить свое понимание глубокого обучения и основополагающих концепций. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Теперь можно переходить непосредственно к расчету множественного коэффициента корреляции. Давайте на примере представленной ниже таблицы показателей производительности труда, фондовооруженности и энерговооруженности на различных предприятиях рассчитаем множественный коэффициент корреляции указанных факторов.

Транспонирование матрицы в программе Microsoft Excel

• выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазономА8:В9, например, Е8:F9
• в Cтроке формул ввести формулу = МОБР (A8:B9) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2)

Для того, чтобы составить корреляционную матрицу в Экселе, используется один инструмент, входящий в пакет «Анализ данных». Он так и называется – «Корреляция». Давайте узнаем, как с помощью него можно вычислить показатели множественной корреляции.

Матрица ковариаций в Excel

Ковариационная матрица — это квадратная матрица, показывающая ковариацию между столбцами и дисперсию в столбцах. В Excel представлен встроенный инструмент «Анализ данных» для определения ковариации между различными наборами данных. В данной статье объясняется расчет ковариационной матрицы в Excel, охватывая следующие темы, в том числе

Объяснение

Ковариация — это одна из мер, используемых для понимания того, как переменная связана с другой переменной. Следующая формула используется для определения ковариации.

Ковариационная матрица представляет собой квадратную матрицу для понимания взаимосвязей, представленных между различными переменными в наборе данных. Легко и полезно показать ковариацию между двумя или более переменными.

Как использовать матрицу ковариации в Excel?

Ковариационная матрица используется в различных приложениях, в том числе

• Анализируем, как два вектора отличаются друг от друга
• Используется в машинном обучении для определения шаблонов зависимости между двумя векторами.
• Ковариационная матрица используется для определения взаимосвязи между различными измерениями случайных величин.
• Используется в стохастическом моделировании в финансовой инженерии для корреляции случайных величин.
• Основной компонент — это еще одно приложение ковариационной матрицы к исходным переменным к линейным независимым переменным.
• В анализе данных ковариационная матрица играет жизненно важную роль.
• Ковариационная матрица используется в современной теории портфелей при оценке рисков.
• Показатели ковариационной матрицы используются для прогнозирования доходности финансовых активов.

Примеры ковариационной матрицы в Excel

Ниже приведены некоторые примеры использования ковариационной матрицы в Excel.

Вы можете скачать этот шаблон Excel для матрицы ковариаций здесь — Шаблон для Excel для матрицы ковариаций

Пример # 1

Выполнение ковариационного анализа оценок, полученных студентами по разным предметам.

Шаг 1: Следующие данные, включая оценки учащихся по математике, английскому языку и естествознанию, считаются такими, как показано на рисунке.

Шаг 2: Перейдите на вкладку «Данные» на ленте и найдите в правом углу набор инструментов «Анализ данных».

Если пакет инструментов «Анализ данных» недоступен, выполните следующие действия.

Шаг А: Перейдите на вкладку «Файл» и выберите «Параметры».

Шаг B: Зайдите в Надстройки. В разделе «Параметры управления» убедитесь, что выбран «Надстройки Excel», и нажмите кнопку «Перейти», как показано на рисунке.

Шаг C: Выберите «Analysis-Tool Pak» и «Analysis-ToolPak VBA», как показано на снимке экрана.

После выполнения этих шагов пакет инструментов «Анализ данных» добавляется на вкладку «Данные».

Шаг 3: Щелкните Анализ данных. Откроется диалоговое окно «Анализ данных». Выберите «Ковариацию», прокрутив вверх, и нажмите «ОК».

Шаг 5: Выберите диапазон ввода, включая имена субъектов, отметьте «метки в первой строке» и укажите «диапазон вывода» на существующем листе. И нажмите «ОК».

Шаг 6: Мы получим следующий результат —

Верхняя часть диагонали пуста, так как ковариационная матрица Excel симметрична относительно диагонали.

Пример # 2

Выполните расчет ковариационной матрицы, чтобы определить отклонения между доходностью различных акций портфеля.

Шаг 1: В этом примере учитываются следующие данные, включая доходность акций.

Шаг 2: Открывает диалоговое окно «Анализ данных» и выбирает «Ковариацию», прокручивая вверх и нажимая «ОК».

Шаг 3: Выберите диапазон ввода, включая заголовки, отметьте «метки в первой строке» и укажите «диапазон вывода» на существующем листе. И нажмите «ОК».

Шаг 4: Мы получим следующий результат —

Верхняя часть диагонали пуста, поскольку ковариационная матрица симметрична по отношению к диагонали.

Пример # 3

Расчет ковариационной матрицы котировок акций корпоративных компаний

Шаг 1: В этом примере рассматриваются следующие данные, включая цены на акции различных компаний.

Шаг 2: Открывает диалоговое окно «Анализ данных», выбирает «Ковариацию», прокручивая вверх, и нажимает «ОК».

Шаг 3: Выберите диапазон ввода, включая заголовки, отметьте «метки в первой строке» и укажите «диапазон вывода» на существующем листе и нажмите «ОК».

[expert_bq id=»1570″]В другой произвольной ячейке создадим такой же диапазон, размером 4Х3, так как мы работаем уже с матричным оператором, и вставим функцию через Мастер функций Ссылки и массивы оператор ТРАНСП. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] При работе с матрицами иногда нужно их транспонировать, то есть, говоря простыми словами, перевернуть. Конечно, можно перебить данные вручную, но Эксель предлагает несколько способов сделать это проще и быстрее. Давайте разберем их подробно.

Матрица ковариаций в Excel.

• Анализируем, как два вектора отличаются друг от друга
• Используется в машинном обучении для определения шаблонов зависимости между двумя векторами.
• Ковариационная матрица используется для определения взаимосвязи между различными измерениями случайных величин.
• Используется в стохастическом моделировании в финансовой инженерии для корреляции случайных величин.
• Основной компонент — это еще одно приложение ковариационной матрицы к исходным переменным к линейным независимым переменным.
• В анализе данных ковариационная матрица играет жизненно важную роль.
• Ковариационная матрица используется в современной теории портфелей при оценке рисков.
• Показатели ковариационной матрицы используются для прогнозирования доходности финансовых активов.

Останавливать свой выбор на методе транспонировании матриц остается правом за пользователем. Оба варианта пригодны к использованию как для небольших массивов данных, так и для громоздких матриц и больших таблиц с многочисленными значениями.