Экстремум функции
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство(f(x1) < f (x2) (f(x1) >f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a,b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ‘ (x) > 0 , (f ‘ (x) < 0).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо), (f(x) ≥f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, значения функции в них — ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума. Если xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ‘ (xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в них определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо — критическая точка. Если f ‘ (x) при переходе через xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ‘ (x) в окрестности xо и вторую производную f » (x0) в самой точке xо. Если f ‘ (xо) = 0, f » (x0)>0, (f » (x0) <0), то xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f » (x0)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [a,b] функция y =f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Пример 1. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.
Задачи на нахождения экстремума функции
Пример 2. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Пример 3. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ‘ (R) = 2p(2R- 16/R 2 ) = 4p (R- 8/R 2 ). S ‘ (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Пример 4. Найти экстремумы функцииf(x) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.
Пример 5. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется c погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
[expert_bq id=»1570″]Найти наибольшее и наименьшее значения функции z 5xy-4 , если переменные x и y положительны и удовлетворяют уравнению связи frac frac-1 0. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Продолжим разбор примеров на нахождение условного экстремума функций нескольких переменных. В первой части мы работали с функциями двух переменных, а здесь обратимся к функциям трёх переменных. Если понадобятся примеры для функций большего количества переменных, отпишите мне, пожалуйста, на форум или в комментариях.
Условный экстремум функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.
Пример 2. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
[expert_bq id=»1570″]Определяем положение глобального минимума модельной функции , который или принимается в качестве глобального минимума функции f x , или уточняется с помощью какого-либо метода локальной оптимизации. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq]
Рассмотрим одномерную задачу условной глобальной оптимизации: найти минимум одномерной многоэкстремальной функции f ( x ), определенной в замкнутой области допустимых значений D = [ a ; b ] и имеющей в этой области конечное число минимумов (4.1).
Второй способ
Напомню, что значения функции $f(z)$ при заданных условиях связи совпадают с значениями функции $u(x,y,z)$, т.е. найденный экстремум функции $f(z)$ и есть искомым условным экстремумом функции $u(x,y,z)$. В принципе, несложно также указать остальные координаты точки условного экстремума:
