Хи-квадрат (χ²): распределение, как его вычислить, примеры

Доказательство Чи в квадрате или хи-квадрат (χ 2 , где χ — греческая буква под названием «хи») используется для определения поведения определенной переменной, а также когда вы хотите узнать, являются ли две или более переменных статистически независимыми.

Чтобы проверить поведение переменной, выполняемый тест называется критерий соответствия хи-квадрат. Чтобы выяснить, являются ли две или более переменных статистически независимыми, вызывается тест.хи квадрат независимости, также называется случайность.

Эти тесты являются частью теории статистических решений, в которой совокупность изучается и решения по ней принимаются на основе анализа одной или нескольких выборок, взятых из нее. Это требует определенных предположений о переменных, называемых гипотеза, что может быть правдой, а может и нет.

Есть несколько тестов, чтобы сопоставить эти предположения и определить, какие из них верны с определенной долей уверенности, включая тест хи-квадрат, который можно применять для сравнения двух и более популяций.

Как мы увидим, в двух выборках обычно возникают два типа гипотез относительно некоторого параметра совокупности: нулевая гипотеза, называемая H_или (выборки независимы), и альтернативная гипотеза, обозначенная как H₁, (образцы коррелированы), что противоположно этому.

Когда используется тест хи-квадрат?

Тест хи-квадрат применяется к переменным, которые описывают такие качества, как пол, семейное положение, группа крови, цвет глаз и предпочтения различных типов.

-Проверьте, подходит ли распределение для описания переменной, которая называетсястепень соответствия. Используя критерий хи-квадрат, можно узнать, есть ли существенные различия между выбранным теоретическим распределением и наблюдаемым распределением частот.

-Узнать, независимы ли две переменные X и Y со статистической точки зрения. Это известно как тест на независимость.

Поскольку он применяется к качественным или категориальным переменным, тест хи-квадрат широко используется в социальных науках, менеджменте и медицине.

Условия его применения

Для его правильного применения есть два важных требования:

— Выборка должна быть достаточно большой, чтобы распределение хи-квадрат было действительным, в противном случае его значение будет завышено и приведет к отклонению нулевой гипотезы, хотя этого не должно быть.

Общее правило состоит в том, что если в сгруппированных данных появляется частота со значением меньше 5, она не используется. Если более одной частоты меньше 5, то они должны быть объединены в одну, чтобы получить частоту с числовым значением больше 5.

Распределение хи-квадрат

χ 2 это непрерывное распределение вероятностей. На самом деле есть разные кривые, в зависимости от параметра k называется степени свободы случайной величины.

Степени свободы

По мере увеличения степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному, как видно из рисунка.

Для данного распределения степени свободы определяются через Таблица сопряженности, в которой записаны наблюдаемые частоты переменных.

Если в таблице есть F ряды и c столбцы, значение k это:

Формулировка гипотез

Когда критерий хи-квадрат подходит, формулируются следующие гипотезы:

-ЧАС_или: переменная X имеет распределение вероятностей f (x) с конкретными параметрами y₁, Y₂…, Y_п

Распределение вероятностей, принятое в нулевой гипотезе, может быть, например, известным нормальным распределением, а параметрами будут среднее значение μ и стандартное отклонение σ.

Кроме того, нулевая гипотеза оценивается с определенным уровнем значимости, то есть мерой ошибки, которая может быть совершена при отклонении ее как истинной.

Обычно этот уровень устанавливается на 1%, 5% или 10%, и чем он ниже, тем надежнее результат теста.

И если использовать критерий случайности хи-квадрат, который, как мы уже сказали, служит для проверки независимости между двумя переменными X и Y, гипотезы будут следующими:

Опять же, необходимо указать уровень значимости, чтобы знать меру ошибки при принятии решения.

Как рассчитывается статистика хи-квадрат?

Статистика хи-квадрат рассчитывается следующим образом:

Суммирование ведется от первого класса i = 1 к последнему, то есть i = k.

–F_или — наблюдаемая частота (взято из полученных данных).

–F_{а также} это ожидаемая или теоретическая частота (необходимо рассчитать на основе данных).

Чтобы принять или отвергнуть нулевую гипотезу, вычисляем χ 2 для наблюдаемых данных и сравнивается со значением, называемым критический квадрат хи, который зависит от степеней свободы k и уровень значимости α:

Если, например, мы хотим провести тест с уровнем значимости 1%, тогда α = 0,01, если будет 5%, то α = 0,05 и так далее. Мы определяем p, параметр распределения, как:

Эти критические значения хи-квадрат определяются по таблицам, содержащим совокупное значение площади. Например, для k = 1, что соответствует 1 степени свободы, и α = 0,05, что эквивалентно p = 1 — 0,05 = 0,95, значение χ 2 составляет 3,841.

Критерии приемки H_или

-Да χ 2 2 _{критический} H принято_или, в противном случае он отклоняется (см. рисунок 1).

Пример расчета

В следующем приложении критерий хи-квадрат будет использоваться в качестве теста на независимость.

Предположим, что исследователи хотят знать, связано ли предпочтение черного кофе с полом человека, и уточнить ответ с уровнем значимости α = 0,05.

Для этого доступна выборка из 100 опрошенных людей и их ответы:

Шаг 1

-ЧАС_или: пол и предпочтение черного кофе независимы.
-ЧАС₁: вкус черного кофе зависит от пола человека.

Шаг 2

Рассчитайте ожидаемые частоты для распределения, для которого требуются итоги, добавленные в последней строке и в правом столбце таблицы. Каждая ячейка в красном поле имеет ожидаемое значение. F_{а также}, который рассчитывается путем умножения суммы вашей строки F на сумму столбца C, деленную на сумму выборки N:

-C1: (36 х 47) / 100 = 16,92
-C2: (64 х 47) / 100 = 30,08
-C3: (36 х 53) / 100 = 19,08
-C4: (64 х 53) / 100 = 33,92

Шаг 3

Затем для этого распределения необходимо вычислить статистику хи-квадрат по следующей формуле:

Шаг 4

Определить χ 2 _{критический}, зная, что записанные данные находятся в f = 2 строках и c = 2 столбцах, следовательно, количество степеней свободы составляет:

Это означает, что мы должны искать в приведенной выше таблице значение χ 2 _{k, α} = χ 2 _{1; 0.05} , который:

Шаг 5

Поскольку χ 2 2 _{критический} Принимается нулевая гипотеза, и делается вывод о том, что предпочтение черного кофе не связано с полом человека, с уровнем значимости 5%.

[expert_bq id=»1570″]Мы можем суммировать собранные наблюдения в таблице с одной переменной, соответствующей столбцам, и другой переменной, соответствующей строкам. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] 5. В ячейке Н13 найдите общее количество наблюдений. Табличный курсор установите в ячейку Н13. На панели инструментов Стандартная нажмите кнопку Автосумма. Убедитесь, что диапазон суммирования указан правильно (Н4:Н12), и нажмите клавишу Enter. В ячейке Н13 появится число 55.

Критерий вилкоксона в excel как сделать

Мы можем суммировать собранные наблюдения в таблице с одной переменной, соответствующей столбцам, и другой переменной, соответствующей строкам. Каждая ячейка в таблице соответствует количеству или частоте наблюдений, которые соответствуют категориям строк и столбцов.